Finden Sie alle lokalen Extrempunkte der Funktion f(x, y) definiert auf der Punktmenge g(x, y)=0 !

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4. (nicht abzugeben) Gegeben sei die Funktion \( f(x, y)=2 x^{4}+2 y^{4}-8 x y \) (die Niveaulinien sind im Diagramm unten gezeigt) und eine Punktmenge definiert durch
\( g(x, y)=(x+1)^{2}+(y-1)^{2}-2=0 \quad(\text { der schwarze Kreis }) . \)
Finden Sie alle lokalen Extrempunkte der Funktion \( f(x, y) \) definiert auf der Punktmenge \( g(x, y)=0 \) !

Problem/Ansatz:

Hello :)
Habe hier eine schoene Aufgabe mitgebracht (siehe Bild). Mein Ansatz ist Extrema mit Nebenbedingungen nach Lagrange anzuwenden, weil ich f(x,y) maximieren moechte fuer alle (x,y) die auf g(x,y)=0 noch zutreffen. Dadurch, dass g(x,y) = 0 als Funktion angeben ist und z fuer g fest ist, sollte ich Extrema mit Nebenbedingungen ohne weiteres anwenden koennen. Ich weiss aber nicht, ob der Ansatz richtig ist, weil der ekelhaft zu rechnen ist. Nach dem Ansatz eleminiere ich alle lambda. Das gestaltet sich aber schwierig (siehe 2. Bild).Also habe ich den Trick ueber die Determinante genommen. Dabei kommt auch sowas langes raus, was sich nicht einfach loesen laesst. Bin ich hier auf dem Holzpfad oder wie geht man da ran ?
Bin allen Antworten Dankbar :)

Answer 1

Generell sollte man bei Umformungen Divisionen vermeiden, denn das erfordert Fallunterscheidungen und damit wird es unübersichtlich.

Addition der Gleichungen I und II führt auf eine Gleichung, bei der (x+y) ausgeklammert werden kann, also der Form (x+y)(....)=0.

Jetzt also nicht dividieren, sondern feststellen, dass x=-y eine(!) Lösung der Lagrange-Gleichungen ist. Dies führt mithilfe der NB auf x=0 oder x=-2.

Nun müsste der andere Fall weiter untersucht werden, also (...)=0 (obige Klammer), das wird aber sehr unschön.

Daher wäre es einfacher, wenn man jetzt einen guten Grund fände, weswegen es genau zwei lokale Extrema unter der NB gäbe. Dann bräuchte man hier nicht weitersuchen. Ich hab aber aktuell keinen solchen guten Grund zur Hand.

Dass es zwei (absolute) Extrema gibt, ist klar. Die Frage bleibt: Könnte es noch weitere lokale geben?