Zentrische Streckung: Rechteck konstruieren mit Seitenverhältnis 2:3 und Umfang 24cm

Question

Aufgabe:

"Konstruieren Sie ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 2:3 und 24 cm Umfang. Nutzen Sie
zentrische Streckungen zur Konstruktion und beschreiben Sie, wie Sie bei der Konstruktion
vorgegangen sind."

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das mithilfe der zentrischen Streckung konstruieren soll. Ich habe ausgerechnet, dass die Seiten 4,8cm und 7,2cm lang sein müssen. Natürlich könnte ich das Rechteck jetzt einfach zeichnen.

Aber wie soll ich das mithilfe der zentrischen Streckung machen?

Ich habe bereits ein Dreieck aufgezeichnet mit den Seitenlängen 2cm und 3cm. Und hatte geplant, dass jetzt irgendwie mit der Streckung zu vergrößern. Leider weiß ich nur gar nicht, wie ich jetzt vorgehen soll, um die richtige Größe zu erreichen (und das dann auch noch zu begründen).

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Hallo,

Zeichne zunächst ein beliebiges Rechteck mit dem Seitenverhältnis 2:3. Hier im Bild \(AB'C'D'\) (grün).

Die Gerade durch \(AB'\) sei \(a\). Trage die Seite \(B'C'\) auf \(a\) zum Punkt \(S'\) ab, so dass die Strecke \(|AS'|\) so lang ist wie der halbe Umfang des Rechtecks \(AB'C'D'\). Zeichne auf \(a\) den Punkt \(S\) ein, so dass \(|AS|\) halb so lang ist wie der geforderte Umfang des Zielrechtecks, also \(|AS|=12\, \text{cm}\). Ziehe eine Gerade durch \(S'\) und \(C'\). Die zu dieser Geraden Parallele durch den Punkt \(S\) schneidet die Verlängerung der Diagonalen \(AC'\) (gestrichelt) in \(C\). Fälle das Lot von \(C\) auf \(a\). Der Lotfußpunkt ist \(B\).

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) sind drei Punkte des gesuchten Rechtecks. Ich messe \(|AB| = 7,2\,\text{cm}\) und \(|BC| = 4,8\,\text{cm}\).

Gruß Werner

Comments

Ich kam irgendwie nicht auf die Idee, das Streckzentrum in eine Ecke zu setzen.

Das kannst das Streckzentrum \(Z\) auch irgendwo anders hinsetzen. Auch so ist eine Lösung möglich. Evt. mit etwas mehr Aufwand:

Letzlich geht es darum, aus der Strecke \(A'S'\) durch eine zentrische Streckung die (bekannte) Strecke \(AS\) zu machen. Dazu kannst Du auch einen Punkt \(Z\) wählen, der nicht auf der Geraden \(a\) durch \(A'B'\) liegt. Zeichne dann die Strahlen von \(Z\) aus durch die Punkte \(A'\), \(B'\) und \(S'\) (lila). Und weiter eine Parallele (grau) zum Strahl durch \(ZA'\) durch den Punkt \(S^*\) (\(|A'S^*| = 12\)). Diese Paralle schneidet den Strahl durch \(S'\) in \(S\). Die Parallele durch \(S\) zu \(a\) (grün) wird nun durch die Strahlen in die Strecken \(AB\) und \(BS\) geteilt.

Der Rest sollte kein Problem sein.

Answer 2

Ich habe eine Zeichnung angefertigt:

Das Rechteck A B C D mit A B=3cm und B C =2cm wird zentrisch im Ursprung A(0|0) gestreckt.

mfG

Moliets

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Vielen Dank!

(Ich kam irgendwie nicht auf die Idee, das Streckzentrum in eine Ecke zu setzen.)