Ist C ⊆ A, so gilt A ∩ (B+C)=(A ∩ B)+C.
Ansatz ganz klassisch: Sei x ∈ A ∩ (B+C) .
Zeige unter der Vor. C ⊆ A x ∈(A ∩ B)+C. Etwa so:
Sei x ∈ A ∩ (B+C) ==> x ∈ A und x ∈ (B+C)
==> x ∈ A und es gibt u ∈ B und v ∈ C mit x = u+v
Wegen C ⊆ A gilt also auch v ∈ A und damit u = x-v
als Differenz zweier Elemente von A wegen Abgeschlossenheit auch aus A.
Also hat man insgesamt u ∈ A und (s.o.) u ∈ C .
==> u ∈ A ∩ B. Wegen x = u+v (und v ∈ C )
ist also x ∈ (A ∩ B) + C.
So ähnlich bekommst du auch die andere Richtung
x ∈ (A ∩ B) + C ==> x ∈ A ∩ (B+C) hin, und
hast dann gezeigt, dass die Mengen gleich sind.
