Hilfe bei rationalen funktionen

Question

Gegeben sind die folgenden Funktionen
f: x -> x^2 (x – 4) (x – 2) (x + 3)    und
g: x -> x^3 – 3 x^2 – x + 3

Bestimmen Sie die Nullstellen von f g, die Art der Nullstellen (ob mit oder ohne VZW), das Verhalten der Funktion für und und skizzieren Sie den globalen Verlauf der Funktion.

Ansatz:

bei f sollten die Nullstellen x1 = 0, x2 = 4, x3 = 2, x4 = -3  sein, aber wie zeichne ich einen graphen zu dieser Funktion und wie genau bestimmt man das verhalten?

Soll man bei g eine polynomdivision machen und danach mit der abc formel die nullstelle bestimmen?

Comments

Soll man bei g eine polynomdivision machen und danach mit der abc formel die nullstelle bestimmen?

Ja.

Answer 1

bei f sollten die Nullstellen x1 = 0, x2 = 4, x3 = 2, x4 = -3  sein, aber wie zeichne ich einen graphen zu dieser Funktion und wie genau bestimmt man das verhalten?

Die Nullstelle bei x=0 ist doppelt also ohne VZW ( wegen des Faktors x^2 ).

Dort ist also zugleich ein Extrempunkt. Wenn du z.B. noch einen

Wert einsetzt ( etwa x=-1 ) dann bekommst du

f(-1) = 30 . Dort ist also der Wert positiv und der Graph muss sich vom Punkt (-1;30)

bis zum Punkt (0;0) absenken. Da dort also ein Minimum ist, geht er anschließend wieder

ein Stück hoch und kommt dann wieder runter zum Punkt (2;0) und dort weiter runter

um dann irgendwann wieder aufzusteigen zu (4;0) und danach weiter hoch gegen unendlich.

Links von (-1;30) geht es irgendwann wieder runter nach (-3 ; 0) und von dort weiter

runter nach minus unendlich.

Soll man bei g eine polynomdivision machen und danach mit der abc formel die nullstelle bestimmen?  Ja , raten kann man ja wohl die 1.

Answer 2

Zur Kontrolle die Skizze

Manuell würde ich den Funktionswert in der MItte zwischen
2 Nullpunkten berechnen und einzeichnen. Dann sieht man
wo es rauf oder runter geht.

Comments

1 Nullstelle geraten
x = 1
Rest der Polynomdivision x^2 -2x - 3

Answer 3

Es gilt $$x^3 - 3 x^2 - x + 3 = \\ x\cdot\left(x^2-1\right)-3\cdot\left(x^2-1\right) = \\ \left(x^2-1\right)\cdot\left(x-3\right) = \\ \left(x+1\right)\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)$$Damit besitzt \(g\) die einfachen Nullstellen \(\left\{-1,+1,+3\right\}\). Das folgt auch schon mit dem Nullstellensatz von Gauß. Polynomdivision wird dafür nicht benötigt. Da \(g\) den globalen Vorzeichenwechsel \((-/+)\) aufweist, ist die gesamte Vorzeichenwechselfolge \((-/+/-/+)\).

Im übrigen sollen die Funktionen nicht gezeichnet, sondern skizziert werden. Das sind unterschiedliche Tätigkeiten!