Hilfe bei dieser Aufgabe mit ganzrationale. Funktionen und Parametern helfen?

Question

Text erkannt:

Aufgabe 3
Gegeben ist eine Schar ganzrationaler Funktionen durch den Funktionsterm \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-\mathrm{k}^{2} \mathrm{x} \quad(\mathrm{x} \in \mathbb{R} ; \mathrm{k} \in \mathbb{R}) \)
a) Zeigen Sie, dass alle Graphen der Funktionen \( f_{k} \) durch den Punkt (0|0) verlaufen.
b) Bestimmen Sie den Wert von \( k \) so, dass der Graph durch den Punkt (2|6) verläuft.
c) Ermitteln Sie den Wert von \( k \) so, dass der Graph der Funktion an der Stelle -2 eine Tangente mit der Steigung 8 besitzt.
d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente

Text erkannt:

Aufgabe 1
Gegeben ist eine Funktionsschar durch ihre Gleichung ft \( (x)=x^{3}-3 t^{2} x \) mit \( t>0 \).
1. Kurvendiskussion (Kurzform)
2. Für welches t geht die Kurve durch (2/5)?
3. Für welches t ist die 2. Winkelhalbierende die Tangente im Ursprung?
4. Für welches t liegen die Extrempunkte auf der 2. Winkelhalbierenden?
5. Für welches t ist die Tangente im Schnittpunkt mit der positiven x-Achse parallel zur 1. Winkelhalbierenden?
6. Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte?
7. Zeigen Sie, dass alle Kurven der Schar symmetrisch zum Punkt (0/0) liegen.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Schar der \( \mathbb{R} \) definierten Funktionen \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{3}+a \mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2} \mathrm{x} \) und \( \mathrm{a} \in \mathbb{R} \).
a) Formulieren Sie für die Funktionenschar eine Aussage zur Symmetrie.
b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit von a.
c) Ermitteln Sie (falls vorhanden) Extrempunkte und Wendepunkte der Graphen der Funktionenschar in Abhängigkeit von a. Prüfen Sie, ob es sich bei den Wendepunkten um Sattelpunkte handelt.
d) Geben Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte an.

Aufgabe:

… Lösen der Aufgaben 1 und 2 (und 3)

Problem/Ansatz:

… es fällt mir noch ziemlich schwer mit Funktionen mit Parametern zu arbeiten und leider wird in meinem Kurs kaum erklärt und mehr gesagt „macht mal“

Also es würde mir sehr helfen wenn die Aufgaben gelöst werden können, damit ich einerseits einen Referenzwert zu Ergebnissen von mir habe und die Herangehensweise besser verstehe.

Danke im Voraus.

Comments

Lösen der Aufgaben 1 und 2 (und 3)

Aufgabe 3 fehlt.

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Achso ja habe ich bewusst weggelassen, deswegen in Klammern.

Ich war mir nicht sicher, ob das dann zu viel ist.

Aber ich füge sie, wenn möglich, noch hinzu.

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damit ich einerseits einen Referenzwert zu Ergebnissen von mir habe

Was hast Du für Ergebnisse?

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1. Funktion Kurvendiskussion

Y-Achsenabschnitt: 0

Symmetrie: Punktsymmetrisch

Nullstellen: 0= x^3 - 3t^2x (?)

Extremstellen HP (-t/?) TP (t/?)

für den Y-Wert von den Extremstellen: ft(t) = (t)3 - 3t^2(t) = ? und das gleiche mit -t

Viel mehr habe ich leider nicht, aber ich kann noch einmal weiter versuchen.

Vielen Dank für die Hilfe.

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Soll ich die Bilder löschen und die drei Aufgaben abtippen?

Weil die Frage gemeldet wurde

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Das nimmt Dir die geniale Software ja weitgehend ab. Aber es ist nicht zumutbar für die Hilfswilligen, bei einem so langen Text zu überprüfen ob die Schrifterkennung die mitgelieferten Fotografien richtig umgesetzt hat.

Stell halt einfach Text ein und keine Bilder.

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Okay alles klar

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Besten Dank.

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Da das 3 unabhängige Aufgaben sind solltest du die. Wenn auch als 3 Fragen einstellen. Besser ist es erstmal nur eine Aufgabe stellen, dann aus den Antworten lernen und versuchen auf ähnliche Aufgaben zu übertragen.

Answer 1

a) Zeigen Sie, dass alle Graphen der Funktionen \( f_{k} \) durch den Punkt \(P(0|0)\) verlaufen.

\(f(x)=x^3-k^2*x\)

\(f(0)=0^3-k^2*0=0\)

b) Bestimmen Sie den Wert von \( k \) so, dass der Graph durch den Punkt \(A(2|6)\) verläuft.

\(f(2)=2^3-k^2*2=8-2k^2=6\)

\(8-2k^2=6\)

\(k_1=1\)

\(k_2=-1\)

c) Ermitteln Sie den Wert von \( k \) so, dass der Graph der Funktion an der Stelle -2 eine Tangente mit der Steigung 8 besitzt.

\(f(x)=x^3-k^2*x\)

\(f(x)=x^3-k^2*x\)

\(f´(x)=3*x^2-k^2\)

\(f´(-2)=3*(-2)^2-k^2=12-k^2=8\)

\(k_1=2\)

 \(k_2=-2\)

d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente

\(f´´(x)=6x\)

\(6x=0\)

\(x=0\)    \(f(0)=0\)

Steigung der Wendetangente:

\(f´(0)=-k^2\)

\(\frac{y-0}{x-0}=-k^2\)

\(y=-k^2*x\)

Answer 2

Gegeben ist eine Schar ganzrationaler Funktionen durch den Funktionsterm

fk(x) = x^3 - k^2·x  ; (x, k ∈ R)

a) Zeigen Sie, dass alle Graphen der Funktionen fk durch den Punkt (0 | 0) verlaufen.

fk(0) = 0^3 - k^2·0 = 0 ✓

b) Bestimmen Sie den Wert von k so, dass der Graph durch den Punkt (2 | 6) verläuft.

fk(2) = 2^3 - k^2·2 = 6 --> k = ± 1

c) Ermitteln Sie den Wert von k so, dass der Graph der Funktion an der Stelle -2 eine Tangente mit der Steigung 8 besitzt.

fk'(x) = 3·x^2 - k^2
fk'(-2) = 3·(-2)^2 - k^2 = 8 --> k = ± 2

d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente

Bedingt durch die ungeraden Potenzen von x ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung. Wir brauchen von der Funktion daher auch nur den linearen Anteil für die Wendetangente nehmen

t(x) = - k^2·x