Erste Ableitung von: (3x² + 4)^{ln x}

Question

Könnte mir bitte jemand den Lösungsweg zu folgender Aufgabe erklären?

$$ \frac { d } { d x } \left( \left( 3 x ^ { 2 } + 4 \right) ^ { \ln x } \right) = \left( 3 x ^ { 2 } + 4 \right) ^ {\ln x } \left( \frac { \ln \left( 3 x ^ { 2 } + 4 \right) } { x } + \frac { 6 x \ln x } { 3 x ^ { 2 } + 4 } \right) $$

Answer 1

Da die Exponentialfunktion die Umkehrung des Logarithmus ist (e^ln(x)=x) und mit dem Potenzgesetz (x^a)^b=x^a*b ist der Ausdruck äquivalent zu:

d/dx (e^{ln(3x²+4)*ln(x)})

Um das jetzt abzuleiten brauchst du erstmal die Kettenregel [f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x) und außerdem für die innere Ableitung die Produktregel [f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

1. Kettenregel mit f(x)=e^x, g(x)=ln(3x²+4)*ln(x)

f'(x)=e^x also f'(g(x))=e^{ln(3x²+4)ln(x)}

g(x) lässt sich schreiben als h(x)*i(x) mit h(x)=ln(3x²+4), i(x)=ln(x). h(x) lässt sich weiter schreiben als j(k(x)) mit j(x)=ln(x) und k(x) = 3x²+4. Insgesamt lautet g(x) also:

g(x)=j(k(x))*i(x)

Durch folgerichtiges Anwenden der Produkt- und Kettenregel folgt:

g'(x)=j'(k(x))*k'(x)*i(x)+j(k(x))*i'(x)

Diese Ableitungen können wir jetzt alle einsetzen und in das Endergebnis einsetzen.

j'(x)=1/x

k'(x)=6x

i'(x)=1/x

=> g'(x) = 6x*ln(x)/(3x²+4) + ln(3x²+4)/x

Für den gesamten Ausdruck gilt also:

d/dx (e^{ln(3x²+4)*ln(x)})=e^{ln(3x²+4)ln(x)}*(6x*ln(x)/(3x²+4) + ln(3x²+4)/x)

Formt man den vorderen Faktor noch wieder gemäß e^ln(y)=y um und vertauscht die Summanden in der Klammer, erhält man genau den Term, den du da oben zu stehen hast:

d/dx ((3x²+4)^ln(x))=(3x²+4)^ln(x)*(ln(3x²+4)/x+6x*ln(x)/(3x²+4))

Kleiner Kommentar noch: Diese ganze Deklaration von den Funktionen f, g, h, i, j und k macht man in der Praxis dann eigentlich nicht mehr, zumindest dann nicht, wenn man das im Kopf überblicken kann. Wichtig sind aber einfach die Formeln für die Kettenregel und die Produktregel.