Beweise: Quadrate der Nachbarn einer Geraden Zahl sind ungerade

Question

Gegeben ist der Satz: Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl n eine gerade Zahl ist, dann sind die Quadrate ihrer Nachbarn n-1 und n+1 ungerade.

Führe einen Beweis.

Answer 1

Eine Zahl ist genau dann gerade, wenn ihre Primfaktorzerlegung die zwei enthält.

Die Primfaktorzerlegung eines Produkts ist gleich dem Produkt der Primfaktorzerlegung der Faktoren. Daraus folgt, dass die PFZ von n² nur dann eine 2 enthalten kann, wenn bereits die PFZ von n eine 2 enthält, das heißt, n ist eine gerade Zahl.

Demnach sind n+1 und n-1 ungerade Zahlen, ihre Primfaktorzerlegungen enthalten keine zwei. Also enthalten auch die PFZ ihrer Quadrate keine Zweien, sie sind also ebenfalls ungerade.

So z.B. argumentativ lösbar.

 

Andererseits über das schlichte Ausrechnen:

Sie n² eine gerade Zahl, d.h. n²=2*k mit einer natürlichen Zahl k.

Dann folgt:

(n+1)²=n²+2n+1=2*k+2*n+1=2(k+n)+1

2(k+n) ist eine gerade Zahl, also ist 2(k+n)+1 eine ungerade Zahl, was zu beweisen war.

Analog für (n-1)².