Beweisen Sie per Induktion diese Summenformel für ungerade Zahlen

Question

Beweisen Sie per Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:

1+3+5+...+(2n-1)=n^2

Answer 1

Hallo Melike,

Zeige es zunächst für ein kleines \(n\) (das ist der Induktionsanfang) - z.B.: für \(n=1\)

$$s(n=1)= 1 + \dots + (2n-1) = 1 = 1^2 = n^2 \quad \text{ für } n=1$$

Dann den Übergang von \(n\) nach \(n+1\) (das ist der Induktionsschritt)

$$\begin{aligned} s(n+1) &= 1+3+5+ \dots + (2n-1) + (2(n+1)-1) \\ &= \underbrace{(1+3+5+ \dots + (2n-1) )}_{=s(n)=n^2} + 2n +1 \\ &= n^2 + 2n + 1 \\ &= (n+1)^2\end{aligned}$$ q.e.d. (siehe auch 1. binomische Formel)