Komplexe Zahl berechnen, Quotient

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

h) \( z_{8}=(3+j): \frac{1+2 j}{1+j} \)
i) \( z_{9}=\frac{3+j}{1+2 j}:(1+j) \)

Problem/Ansatz:

Wie löse ich die Komplexe Zahl in Kartesischer Form und wie würde ich die Komplexe Zahl skizzieren sowie den Betrag herausfinden?

Answer 1

h) \( z_{8}=(3+j): \frac{1+2 j}{1+j} \)=2
i) \( z_{9}=\frac{3+j}{1+2 j}:(1+j) \)=-j

Comments

wie sind sie darauf gekommen?

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Kannst du mit komplexen Zahlen rechnen? Sonst siehe Antwort von abakus.

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Bisher konnte ich alle aufgaben berechnen außer die zwei letzten

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Schreib mal auf, wie weit du mit h) und i) aus eigener Kraft gekommen bist.

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Ich habe beides jetzt bearbeitet und bin auf das Ergebnis gekommen, danke.

Answer 2

Erstens: (hat noch nichts mit komplexen Zahlen zu tun): Durch einen Bruch dividiert man, indem man mit dem Reziproken des Divisors multipliziert.

Zweitens: Der Bruch (komplexer Zähler)/(komplexer Nenner) wird üblicherweise durch Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners auf eine ansprechendere Form gebracht.

(Hat der Nenner die Form (a+bi), erweitert man den Bruch mit (a-bi)).

Comments

wenn ich bei z8 mit (1-j) erweitere komme ich nicht auf das Ergebnis

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Bei z₈ ist (1-j) nicht der Nenner. Dividieren ist Multiplizieren mit dem Kehrwert.

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Warum machst du auch so einen Unsinn? Hättest du

Durch einen Bruch dividiert man, indem man mit dem Reziproken des Divisors multipliziert.

rechtzeitig beachtet, dann wäre dir aufgefallen, dass (1+i) gar nicht mehr dein Nenner ist, sondern (1+2i), wovon das konjugiert Komplexe dann 1-2i ist.

Answer 3

Aloha :)

$$z_8=(3+i)\,:\,\frac{1+2i}{1+i}=(3+i)\cdot\frac{1+i}{1+2i}=\frac{(3+i)(1+i)}{1+2i}=\frac{3+i+3i+i^2}{1+2i}$$$$\phantom{z_8}=\frac{3+4i-1}{1+2i}=\frac{2+4i}{1+2i}=\frac{2\cdot(1+2i)}{1+2i}=2$$Der Betrag ist gleich \(2\) und die Koordinaten des Punktes sind \((2|0)\).

$$z_9=\frac{3+i}{1+2i}\,:\,(1+i)=\frac{3+i}{1+2i}\cdot\frac{1}{1+i}=\frac{3+i}{(1+2i)(1+i)}=\frac{3+i}{1+2i+i+2i^2}$$$$\phantom{z_9}=\frac{3+i}{1+3i-2}=\frac{3+i}{3i-1}=\frac{1\cdot(3+i)}{3i-1}=\frac{(-i^2)\cdot(3+i)}{3i-1}=\frac{-i\cdot i\cdot(3+i)}{3i-1}$$$$\phantom{z_9}=\frac{-i\cdot(3i+i^2)}{3i-1}=\frac{-i\cdot(3i-1)}{3i-1}=-i$$Der Betrag ist gleich \(1\) und die Koordinaten des Punktes sind \((0|-1)\).

Comments

Ah, alles klar nur sind mir die letzten schritte zum Ergebnis nicht ganz schlüssig was aber nicht so schlimm ist, weil ich dann mit dem Konjugiert komplex multipliziere und letztendlich auch auf das Ergebnis komme. Vielen Dank.

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Ich habe eine Frage und zwar habe ich die Komplexe Zahl z = 1/5 * ( 4j+3) und z = 1/5* (-8j+4) wie berechne ich davon den Betrag und wie skizziere ich die Komplexe Zahl, da vor der Klammer 1/5 steht was muss ich damit machen.

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Entweder du machst aus 1/5 * ( 4j+3) gleich 0,8j +0,6, oder du berechnest erst den Betrag von  ( 4j+3) und nimmst davon ein Fünftel.

Answer 4

h) $$ z_{8}=(3+j): \frac{1+2 j}{1+j} =$$$$(3+j)*\frac{1+j}{1+ 2j}=$$$$(3+j)*\frac{(1+j)(1-2j)}{(1+ 2j)(1-2j)}= $$$$(3+j)*\frac{(3-j)}{5}= \frac{10}{5} =2$$

i) $$ z_{9}=\frac{3+j}{1+2 j}:(1+j)=$$$$\frac{3+j}{(1+2 j)(1+j)}=\frac{3+j}{-1+3j}=$$$$\frac{-j(3j-1)}{-1+3j}=-j$$