Stetigkeit einer Funktion f zeigen

Question

Hey.. Ich soll zeigen, dass die Funktion \( f \) stetig auf \( (0,\infty) \) ist.

\( f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}(1-\sqrt{1+2x})&\text{für } x > 0\\a&\text{für } x=0\end{cases} \)

Wie kann ich da vorgehen? Habe leider nicht wirklich eine Idee...
Vielen Dank!

Answer 1

1/x * ( 1 - √ ( 1 + 2x) ) = a
unendlich * null

für l´Hospital umwandeln
( 1 - √ ( 1 + 2x) ) / ( 1 / (1/x ))
[ ( 1 - √ ( 1 + 2x) )] ´ / [ ( 1 / (1/x )) ] ´

[ -1/ √ (2*x + 1) ] / 1

lim x -> 0 [ -1/ √ (2*x + 1) ] = -1 / 1 = -1

Stetigkeit für a = -1

Comments

Hey! Danke für die Antwort.
Dass man für a = -1 setzen muss damit die Funktion stetig für \( [0,\infty) \) ist, wäre der zweite Schritt der Aufgabe gewesen.
Zuerst soll man nur zeigen, dass die Funktion f stetig ist auf \((0,\infty)\) .
Wie würde ich das bei der Funktion machen?
Danke

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Ich kann nur einfach argumentieren
1/x * ( 1 - √ ( 1 + 2x)

für x > 0
2x ist stetig
1 + 2x ist stetig ( und positiv )
die Wurzel läßt sich ziehen
1 - √ ( 1 + 2x) ist stetig
1/x ist für positive Zahlen stetig
1/x * ( 1 - √ ( 1 + 2x) ist stetig