Berechnen Sie das Volumen des Bierglases.

Question

Aufgabe:

Eine Dortmunder Brauerei möchte eine besondere Edition von Biergläsern herausgeben und schreibt dazu einen Design-Wettbewerb aus. Da sich die Schülerinnen und Schüler eines Mathe-LKs gerade mit Rotationskörpern beschäftigt haben, setzen sie sich kurzerhand an den Computer und modellieren verschiedene Randkurven. Schließlich einigt man sich auf die Funktion \(\small f(x)=2\; \sqrt{x} \; \left(0.95\right)^{x}  \), deren Graph um die x-Achse rotiert und im Intervall [0; 10] ein Bierglas be schreibt, welches dann noch mit einem Fuß versehen wird. (Eine Einheit entspricht 1 cm).

a) Erstellen Sie eine Wertetabelle mit mindestens 10 Werten und skiz zieren Sie den Graphen der Funktion. Skizzieren Sie den entstehenden Rotationskörper

b) Ermitteln Sie rechnerisch den größten Durchmesser des Bierglases.

c) Berechnen Sie das Volumen des Bierglases.

d) Die Brauerei möchte auf das Glas einen 300-ml-Eichstrich aufdrucken. Bestimmen Sie mithilfe eines GTR eine Integralfunktion und ermitteln Sie damit die Stelle, an der der Eichstrich aufgedruckt werden muss.

Problem/Ansatz:

Schönen Sonntag wünsche ich, wir haben im distanz Unterricht nun mit dem neuen Thema angefangen. Verstehe ich eigentlich gut, aber bei der Aufgabe bei der c) hapert es gerade. Wie erstelle ich die Stammfunkion? Also ich habe

V= π ×\( \int\limits_{0}^{\infty} \) (4×x×0,95^2x)dx. Obere Integralgrenze natürlich 10 und nicht ∞..

Mein Problem ist jetzt aber wie ich davon die Stammfunkion bilde,also genauer gesagt von 0.95^2×x. Und bei der d) ist die Frage, ob ich einfach die integralfunktion nehmen soll, die ich auch oben hingeschrieben habe? Ich habe keine Ahnung wasich mit diesem x da oben tun soll. Ich hoffe mir kann jemand helfen,viele Grüße

Edit: Funktion update

Comments

Könntest Du mal verlässliche Angaben machen zu der Funktion um die es geht?

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Oh, hab gar nicht gesehen was aus der Funktion gemacht wurde, sorry. Die Funktion lautet f(x)=2·\( \sqrt{x} \)·0,95^x

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Kann bitte jemand die hier ganz Aufgaben lösen, weil ich die selbe Aufgabe habe, aber nichts verstehe bitte?

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weil ich die selbe Aufgabe habe, aber nichts verstehe

Wenn Du konkret sagen würdest, was Du nicht verstehst, könnte jemand zielgerichtet antworten.

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Ich verstehe nicht wie man die Funktion auflöten und ableiten soll. Bitte ich brauche Hilfe.

Hast Du die Tabelle und Skizze a) ?

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Ja die habe ich schon ich brauche Hilfe bei b c und d

Answer 1

Hm,

wenn ihr eh mit GTR arbeitet wo hast Du da Probleme?

V=300 ===>e Eichstrichmarke

\(\small \pi \; \int\limits_{0}^{e}f\left(x \right)^{2}\,\mathrm{d}x = 300\)

===>

\(\small \pi \; \frac{-\left(\left(\frac{19}{20} \right)^{e} \right)^{2} + 2 \; \left(\left(\frac{19}{20} \right)^{e} \right)^{2} \; e \; \ln\left(\frac{19}{20} \right) + 1}{\ln\left(\frac{19}{20} \right)^{2}} = 300\)

NSolve

{e = (-5.666707141147), e = 9.403351555148}

Comments

Der Gtr hat das bei mir einfach nicht gezeichnet bzw. nur geladen. Darum dachte ich, dass ich was falsch habe. Nach einem Neustart ging es aber.

Aber mein Problem ist, der Operator berechnen in der c) heißt ja ohne GTR und da hab ich keine Ahnung wie ich die Stammfunkion mache... Mit Gtr kein Problem aber ohne

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Ich seh auf die schnelle keinen billigen Weg und kann mir nicht vorstellen, das dieses Intergal "von Hand" aufgedöselt werden soll - Du kannst aber gerne nach einem Online-Integrierer googeln der auch den Rechenweg darstellt und dich gruseln;-)...

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Gut, dann lass ich es so. Die Rechenwege im Internet waren mir schon komisch genug. Aber vielen Dank :)

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Ich verstehe nicht wie man die Funktion auflöten und ableiten soll. Bitte ich brauche Hilfe.

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Ich verstehe nicht wie man die Funktion auflöten und ableiten soll.

Auflöten schon mal gar nicht :)   Es soll aber Leute geben, die sagen "aufleiten".

Wie, steht ja in der Aufgabe:

Bestimmen Sie mithilfe eines GTR eine Integralfunktion

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Auflöten gefällt mir besser als das fürchterliche Aufleiten :-)

Für fleißige Lieschen

\(\pi \; \frac{b - a}{n} \;  \sum\limits_{j=1}^{n - 1}\left(f\left(j \; \frac{b - a}{n} \right) \right)^{2} \)

für n=500 erhält man eine passable Näherung

V ~ 326.431609534  (integriert 326.8825189931)

Answer 2

Nach der heutigen Nachfrage durch Benutzer Louuu:

b)

Nullstelle der ersten Ableitung \(f ' (x)\) bei x ≈ 9,748 eingesetzt in die Bierglasfunktion \(f(x)\) ergibt einen maximalen Radius von etwa 3,787

c)

Die Formel für die Rotation um die x-Achse:

\(\displaystyle V= \pi \int\limits_{0}^{10} (2 \cdot \sqrt{x} \cdot 0,95^{x})^{2} \; dx =\pi \int\limits_{0}^{10} 4x \cdot 0,95^{2x} \, dx \approx 327\)

d)

\(\displaystyle V= \pi \int\limits_{0}^{b} (2 \cdot \sqrt{x} \cdot 0,95^{x})^{2} \; dx =\pi \int\limits_{0}^{b} 4x \cdot 0,95^{2x} \, dx = 300\) hat als Lösung b ≈ 9,4

Comments

Ich danke ihnen. Danke wirklich danke

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Sorry meine Antwort b) war Murks, wurde korrigiert.