Aufgabe zu Vektoren (Pyramide)

Question

ich habe eine Frage zu einer Vektorenaufgabe.

Aufgabe:

Die abgebildete Pyramide hat eine Höhe von 5 LE.

Frage:

Wie kann ich Flächeninhalte der Seitenflächen, Grundfläche und das Volumen mit nur einem gegeben Punkt bestimmen? Wir haben einen Punkt gegeben P(5/5/0) (unten rechts)

Leider haben wir ein Abbild davon, aber ich kann es nicht reinstellen. Und kann es leider nicht umwandeln lassen.

Kann mir da jemand helfen? Bin am verzweifeln :D

Answer 1

\(A =\begin{pmatrix} 5  \\ 0\\0 \end{pmatrix} \) ; \(P =\begin{pmatrix} 5  \\ 5\\0 \end{pmatrix} \);

\(C =\begin{pmatrix}  0 \\ 5\\0 \end{pmatrix} \) ; \(D =\begin{pmatrix} 0  \\ 0\\0 \end{pmatrix} \);

\(S =\begin{pmatrix} 2,5  \\ 2,5\\5\end{pmatrix} \)

\(V= \frac{1}{3} (DC*(DA×DS))\)

$$V= \frac{1}{3} ( \begin{pmatrix}  0 \\ 5\\0 \end{pmatrix}  * ( \begin{pmatrix} 5  \\ 0\\0 \end{pmatrix}  × \begin{pmatrix} 2,5  \\ 2,5\\5\end{pmatrix}) $$

$$V= \frac{1}{3} ( \begin{pmatrix}  0 \\ 5\\0 \end{pmatrix}  * ( \begin{pmatrix} 0  \\ -25\\12,5 \end{pmatrix})=$$$$ \frac{1}{3} 125=41,667 \space LE^3$$

$$O= |DA×DC|+2|DA×DS|$$

$$O=|\begin{pmatrix} 5  \\ 0\\0 \end{pmatrix}×\begin{pmatrix}  0 \\ 5\\0 \end{pmatrix}|+2| \begin{pmatrix} 0  \\ -25\\12,5 \end{pmatrix}|$$

$$O=|\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\25\end{pmatrix}|+2| \begin{pmatrix} 0  \\ -25\\12,5 \end{pmatrix}|$$

$$O≈25+2*27,95=80,90 \space LE^2$$

Comments

Hey Hogar,

Aber wie kommst du am Ende auf 27,95?

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Wurzel aus 0^2+25^2 + 12,5^2

Die Länge des Vektors.

Answer 2

Du kennst die regülären Formeln für eine Pyramide

Grundfläche

G = 5^2 = 25 m²

Seitenfläche

A = 1/2 * 5 * √(2.5^2 + 5^2) = 25/4·√5 = 13.98 m²

Volumen

V = 1/3 * 5^2 * 5 = 125/3 = 41.67 m³

Comments

Ja schon, aber das hat ja mit Vektoren zu tun. Muss man da nicht Skalarprodukt und alles andere anwenden?

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Also die anderen Punkte sollten bei

A=(5;0;0) ; P=(5/5/0) ; C=(0/5/0) ; D=(0/0/0)  liegen. Stimmt das?

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Ja. Das Stimmt.

Answer 3

Du solltest dich mit dem Vektorprodukt beschäftigen; damit kann man Flächen von Parallelogrammen und Dreiecken ausrechnen.