Pyramide Spitze bestimmen (Vektoren)

Question

Aufgabe:

3 Eine Pyramide hat die Grundfläche \( A B C D \) mit \( A(1|3| 2), B(-5|3| 1), C(-5|-3| 0) \) und \( D(1|-3| 1) \). Der Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche ist M. Bestimmen Sie eine Spitze S so, dass \( \overline{\mathrm{MS}} \) senkrecht zur Grundfläche ist und die Pyramide die Höhe \( \sqrt{38} \) hat.

Problem/Ansatz:

Aufgabe 3:

Also ich habe berechnet:

M(-2|0|2)

n →(6|6|-36)

d=-48

und wir haben gegeben MS(wurzel 38)

Ich weiß jetzt nicht wie ich S bestimmen soll, und bis her haben wir mit Lotfußpunkt und Hessesche Formel gearbeitet.

Könnt ihr mir weiter helfen?

Comments

Hallo Roses,

vergleiche die geforderte Pyramidenhöhe mit dem Betrag des von dir verwendeten Normalenvektors.

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Wenn da von vier Punkten in einer Ebene die Rede ist, möchte ich zuerst sicher sein, dass die vier Punkte tatsächlich in einer Ebene liegen. Der Rechner bestätigt das, denn das LGS hat eine Lösung.

Bei der Lösung kann man auch ablesen, dass \(\vec{v}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-6 \end{pmatrix} \) senkrecht zur Ebene steht.

Besonders praktisch finde ich, dass die Länge dieses Vektors \( \sqrt{38} \) beträgt.

Und es sollte klar sein, dass es zwei Lösungen gibt für die Spitze:

\(\begin{aligned} \overrightarrow{OS}&= \overrightarrow{OM}&&\pm \vec{v}  \quad &&\text{(immer)}\\\\ &= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{BC} &&\pm \vec{v} \quad &&\text{(nicht immer, hier schon)} \end{aligned}\)

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Letztere Rechnung gilt im Allgemeinen aber nicht.

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Letztere Rechnung gilt im Allgemeinen aber nicht.

Ich bin ziemlich sicher, dass es Dir nicht darum geht, die Fragestellerin zu verwirren. Du solltest Deinen Beitrag deshalb ergänzen mit "Komma weil ...".

Wobei das "..." wichtig ist. Schreibe dort also nicht "..." sondern eine Explanans. Damit sie Deinem Einwurf folgen kann.

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..., weil es Vierecke gibt, deren Diagonalen sich nicht halbieren, zum Beispiel beim Trapez.

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Genau. Doch hier handelt es sich um einen Rhombus.

Answer 1

M wurde nicht ganz richtig bestimmt. Nimm mal ein Sechstel des Normalenvektors m. Der hätte dann die passende Länge.

Hier meine Vergleichslösung

[spoiler]

M = [1, 3, 2] + r·[-6, -6, -2] = [-5, 3, 1] + s·[6, -6, 0] → r = s = 0.5
M = [1, 3, 2] + 0.5·[-6, -6, -2] = [-2, 0, 1]

n = [-6, -6, -2] ⨯ [6, -6, 0] = [-12, -12, 72] = - 12·[1, 1, -6]
|[1, 1, -6]| = √38

S1 = [-2, 0, 1] - [1, 1, -6] = [-3, -1, 7]
S2 = [-2, 0, 1] + [1, 1, -6] = [-1, 1, -5]

[/spoiler]

Comments

Wer hat von Euch M regulär über den Schnittpunkt der Diagonalen berechnet?

Du möchtest das der FS noch nachweist, dass das Viereck ein Parallelogramm ist, was nicht Aufgabe war und man auch nicht braucht.

Ich würde meine Lösung nicht als Duplikat bezeichnen.

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Hier noch das Bild zur Aufgabe, damit man sich das besser vorstellen kann.

(klick drauf!)

Answer 2

Hallo.

Berechne zuerst den Mittelpunkt* Dann setze eine Vorschrift für eine Ebenengleichung aus den vier Punkten für die Grundfläche. Also wählst du den Ortsvektor aus einer der vier Punkten und damit dann entsprechend die beiden Ruchtungsvektoren.

Dann bilde für einen Punkt S := (x,y,z) den Punkt MS = S-M, wobei M ja bereits berechnet ist und S erstmal unbekannt ist. Anschließend musst du prüfen ob der Punkt MS zu der Ebene orthogonal ist, d.h. du prüfst wann das Skalarprodukt von MS zu den Richtungsvektoren der Ebene verschwindet (also 0 wird). Das ist im Endeffekt ein Gleichungssystem.

*Mittelpunkt berechnen

Es gilt M = (1/2) (A+C). Überlege mal warum

Comments

Sollte klar sein Du solltest unbedingt mehr auf den Fragesteller eingehen.

Auch der Rest deiner Antwort fällt weit hinter das vom Fragesteller bereits Erreichte zurück.

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Erstens hat er nicht nach der Berechnung eines Mittelpunktes nachgefragt. Zweitens ist das sehr intuitiv, wo man auch hunderte Sachen im Internet findet.

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Zweitens ist das sehr intuitiv

Für dich vielleicht. Ein Problem vieler Lehrer ist genau diese Einstellung.

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Hab es jetzt dazu geschrieben.

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Das gilt im Allgemeinen aber nicht.

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Steht da auch nicht. In dem Falle berechnet sich der Mittelpunkt aber so.

Answer 3

M(-2|0|2)

Stimmt nicht ganz. Das Viereck ist ein Parallelogramm (Nachweis!) und der Diagonalenschnittpunkt daher der Mittelpunkt von \(\overline{AC}\) bzw. \(\overline{BD}\).

n →(6|6|-36)

Passt. Es bietet sich bei solchen Aufgaben an, den Normalenvektor zu "kürzen", also entsprechend zu skalieren. Dann stellt man fest, dass er - oh Wunder - die Länge \(\sqrt{38}\) hat.

Du musst dich dann nur noch vom Punkt \(M\) in die Richtung des skalierten Normalenvektors bewegen.

Comments

Hier sollte man nicht "normieren", sondern "vereinfachen" sagen. Normiert hätte der Vektor ja die Länge 1.

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Danke, ich wollte auch eigentlich "skaliert" sagen. Habe es verbessert. :)