Aufgabe:
Hallo, in der Folgenden Teilaufgabe geht es darum, zu zeigen, dass die Ebene E eine Ebene in einer quadratischen Pyramide zwischen der Grundfläche mit dem Mittelpunkt (5/-4/8) und der Spitze S(-3/-4/14) liegt. Die Parallelität habe ich bereits bewiesen. Ich verstehe jedoch nicht was die in den Lösungen bei d(S,E) mit den 1/10 gemacht haben. Kann mir das jemand erklären? Der Vektor (-8/0/-6) ist der Normalenvektor der Ebenen.
Vielen Dank im Voraus
Problem/Ansatz:
d) Zeigen Sie, dass die Ebene
\( \left.E: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-5 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)+s \begin{array}{l}6 \\ 7 \\ 8\end{array}\right) \) mit \( s, r \in \mathbb{R} \)
parallel zu der Ebene G ist, die die Grundfläche ABCD enthält. Zeigen Sie weiterhin, dass die Ebene E zwischen der Spitze S und der Grundfläche der Pyramide liegt.
d) \( \left(\begin{array}{r}4 \\ 0 \\ -3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)=0 ;\left(\begin{array}{r}4 \\ 0 \\ -3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}6 \\ 7 \\ 8\end{array}\right)=0 \)
\( \Rightarrow \) Der Normalenvektor von \( \mathrm{G} \) ist auch ein Normalenvektor von \( \mathrm{E} \), die Ebenen sind also parallel.
Es gilt: \( \mathrm{d}(\mathrm{S}, \mathrm{G})=\mathrm{h}=10( \) siehe Teil b \( )) \).
Weiterhin: \( \mathrm{d}(\mathrm{S}, \mathrm{E})=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{r}-8 \\ 0 \\ 6\end{array}\right) \cdot\left[\left(\begin{array}{r}-3 \\ -4 \\ 14\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}-5 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)\right]=5 \)
Da \( 0<\mathrm{d}(\mathrm{S}, \mathrm{E})<\mathrm{d}(\mathrm{S}, \mathrm{G}) \) gilt sowie die Vektoren von \( \mathrm{S} \) nach \( \mathrm{E} \) und von \( \mathrm{S} \) nach \( \mathrm{G} \) in dieselbe Richtung zeigen, liegt \( E \) zwischen \( S \) und \( G \).
