und was folgt nach dem beschränktheit von g?

Question

hallo

ich brauche hilfe

es sei h:ℝ→ℝ eine beschränkte funktion .

und sei L1ℝ→ℝ , x→xh(x)

            L2ℝ→ℝ , x→x²h(x)

die probleme

untersuchen L1 und L2 auf differenzierbarkeit und auf stetigkeit im punkt x0=0

ich weiß nicht wie soll ich damit anfangen

und was folgt nach dem beschränktheit von g ?

Comments

ich meine genau was folgt nach dem beschränktheit von h und nicht g

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In deiner Frage ist g nicht definiert?

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nein es gibt kein g sondern h

ich hab falsch geschrieben

Answer 1

Wenn alle Stricke reißen, dann zeigt man Differenzierbarkeit mittels der Definition der Differenzierbarkeit. Und das ist nun mal der Grenzwert des Differenzenquotienten.

\(\begin{aligned} L_1'(0)=\, & \lim_{x\to0}\frac{L_{1}(x)-L_{1}(0)}{x-0}\\ =\, & \lim_{x\to0}\frac{xh(x)-0h(0)}{x}\\ =\, & \lim_{x\to0}\frac{xh(x)}{x}\\ =\, & \lim_{x\to0}h(x) \end{aligned}\)

Comments

und das geht für beide f1 und f2 ?

und was soll ich für die stetigkeit mal sagen ?

danke im Voraus !

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Ja, das geht für beide \(L_1\) und \(L_2\). Mit unterschiedlichen Schlussfolgerungen.

Beachte dass ich nicht behauptet habe

        \(L_1'(0)\) existiert,

sondern lediglich

        Falls \(L_1'(0)\) existiert, dann ist \(L_1'(0)=\lim\limits_{x\to0}h(x)\).

Zur Steitgkeit kramt man die Definition oder einen Satz über Stetigkeit aus der Tasche, zum Beispiel

        \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ist an der Stelle \(x_0\in \mathbb{R}\) stetig,
        wenn \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) existiert und \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)= f\left(x_0\right)\) ist.