Betrachten Sie die Relation ~ auf ℝ gegeben durch ∀ a, b ∈ ℝ : a∼b:⇔ ⌈a⌉=⌈b⌉.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Relation ~ auf ℝ gegeben durch ∀a,b ∈ ℝ : a ~ b :⇔ ⌈a⌉ = ⌈b⌉

1. Beweisen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

2. Beweisen Sie, dass jede Äquivalenzklasse von ~ dieselbe Kardinalität hat.

Problem/Ansatz:

Zu 1:

reflexiv: Sei a ∈ ℝ. Dann ist ⌈a⌉ = ⌈a⌉, also a ~ a.

symmetrisch: Seien a,b ∈ ℝ. Wenn ⌈a⌉ = ⌈b⌉, dann auch ⌈b⌉ = ⌈a⌉, also a ~ b.

transitiv: Seien a,b,c ∈ ℝ. Wenn ⌈a⌉ = ⌈b⌉ und ⌈b⌉ = ⌈c⌉, dann auch ⌈a⌉ = ⌈c⌉, also a ~ b ∧ b ~ c ⇒ a ~ c.

Zu 2. habe ich leider keinen Ansatz, wäre über jede Hilfestellung/Lösungsansatz dankbar.

Answer 1

Im Prinzip ist die Aufgabe eine Bijektion zwischen den halboffenen Intervallen zu konstruieren.

Seien [a] und [b] Äquivalenzklassen. Wir müssen eine Bijektion zwischen beiden Mengen angeben.
Ein x aus [a] hat die Form x= ⌈a⌉-1 + x-(⌈a⌉-1).
⌈a⌉-1 € Z ist die "Etage" und x-(⌈a⌉-1) € (0,1] der "Rest".
Wir müssen x auf die Etage von [b] schicken:
f(x) = ⌈b⌉-1 + x-(⌈a⌉-1)= ⌈b⌉-⌈a⌉ + x. Man macht sich klar, dass f(x) in [b] liegt.
Injektiv ist klar, denn f ist eine Verschiebung.
Surjektiv: jedes y aus [b] wird durch ⌈a⌉-1 + y-(⌈b⌉-1) mit f getroffen.