Funktionsgleichung zum Punkt P(1/1), der eine Steigung von -1 hat, und dessen Wendepunkt im Ursprung (0/0) liegt?

Question

Aufgabe:

Wie lautet die Funktionsgleichung eines Graphen, dessen Punkt P(1/1) eine Steigung von -1 hat, und dessen Wendepunkt im Ursprung (0/0) liegt?

Problem/Ansatz:

Wie lautet die Funktionsgleichung eines Graphen, dessen Punkt P(1/1) eine Steigung von -1 hat, und dessen Wendepunkt im Ursprung (0/0) liegt? Leider fehlt mir eine Formel oder ähnliches zum Ermitteln der Gleichung.

Antworten bitte mit Vollständigem Rechenweg.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wie lautet die Funktionsgleichung eines Graphen, dessen Punkt P(1/1) eine Steigung von -1 hat, und dessen Wendepunkt im Ursprung (0/0) liegt?

f ( 1 ) = 1
f ´( 1 ) = -1
f ( 0 ) = 0
f ´´ ( 0 ) = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x ^2  + c * x + d
f ´( x ) = 3a * x^2 + 2b * x   + c
f ´´( x ) = 6 x + 2b

Die Angaben in die Funktionsgleichungen
einsetzen, eine lineares Gleichungssystem
ist damit gegeben, ausrechnen.

Bei Bedarf nachfragen

Comments

Zur Kontrolle
f ( x ) = -x^3 + 2·x

---

Wo genau soll was eingesetzt werden?

Bitte ausführlicher Rechenweg, vielen Dank!

---

f ( 1 ) = 1
f ´( 1 ) = -1
f ( 0 ) = 0
f ´´ ( 0 ) = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x ^2  + c * x + d
f ´( x ) = 3a * x^2 + 2b * x + c
f ´´( x ) = 6 x + 2b

Einsetzen

f ( 1 ) = a * (1)^3 + b * (1)^2  + c * 1 + d = 1
f ´( 1 ) = 3a * (1)^2 + 2b * 1  + c = -1
f ( 0 ) = a * 0^3 + b * 0 ^2  + c * 0 + d = 0
f ´´( 0 ) = 6 *0 + 2b = 0

a * (1)^3 + b * (1)^2  + c * 1 + d = 1
3a * (1)^2 + 2b * 1  + c = -1
a * 0^3 + b * 0 ^2  + c * 0 + d = 0 => d = 0
6 *0 + 2b = 0  => b = 0

a * (1)^3 + c * 1 = 1
3a * (1)^2  + c = -1 | abziehen
-----------------------
-2a = 2
a = -1

Einsetzen
-1 * (1)^3 + c * 1 = 1
-1 + c = 1
c = 2

f ( x ) = -x^3 + 2x

Answer 2

Nutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(1)=1
f'(1)=-1
f(0)=0
f''(0)=0

Gleichungssystem

a + b + c + d = 1
3a + 2b + c = -1
d = 0
2b = 0

Errechnete Funktion und Ableitungen

f(x) = -x^3 + 2·x
f'(x) = -3·x² + 2
f''(x) = -6·x
f'''(x) = -6