Bestimmen sie jeweils eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit den folgenden Eigenschaften:
a.) Graph durch die Punkte (6|10), (-1|9). In (0|0) ist die Steigung 0.
b.) Die Steigung im Punkt (3/7) beträgt -3. (0/6) ist ein Wendepunkt.
c.) Sattelpunkt (0/1) der Graph schneidet bei -6 die x-Achse.
d.) (0/-5) ist Wendepunkt. Die Steigung im Wendepunkt beträgt +7. Der Graph verläuft durch den Punkt (1/0).
e.) Wendepunkt (0/0). Hochpunkt (2/5).
a) 1. Punkte bestimmen:
f(6)=10; f(-1)=9; f(0)=0; f‘(0)=0
2. In Gleichungen einsetzen
f’(0)=0; 3 * a * 0 ^2 + 2 * b * 0 + c = 0, also c=0
f(0)=0; a * 0 ^3 + b * 0^2 + c * 0 + d = 0, also d=0
f(6)=10; a * 6 ^3 + b * 6^2 + c * 6 + d = 10, also 216a + 36b = 10
f(-1)=9; a * (-1) ^3 + b * (-1)^2 + c * (-1) + d = 0, also -1a + 1b = 9
3. Einsetzen der noch nicht gelösten Gleichungen in Geogebra
b) 1. Punkte bestimmen:
f(3)=7; f‘(3)=7; f(0)=6; f‘‘(0)=0
2. In Gleichungen einsetzen
f(3)=7; a * 3 ^3 + b * 3^2 + c * 3 + d = 7, also 27a + 3c + 6 = 7
f’(3)=-3; 3 * a * 3 ^2 + 2 * b * 3 + c = -3, also 27a + c = -3
f(0)=6; a * 0 ^3 + b * 0^2 + c * 0 + d = 6, also d=6
f’’(0)=0; 6 * a * 0 + 2 * b = 0, also b=0
3. Einsetzen der noch nicht gelösten Gleichungen in Geogebra
c) 1. Punkte bestimmen:
f(0)=1; f‘(0)=1; f‘‘(0)=1; f(-6)=-0;
2. In Gleichungen einsetzen
f(0)=1; a * 0 ^3 + b * 0^2 + c * 0 + d = 1, also d = 1
f’(0)=1; 3 * a * 0 ^2 + 2 * b * 0 + c = 1, also c = 1
f’’(0)=1; 6 * a * 0 + 2 * b = 1, also b=0,5
f(-6)=0; a * (-6)^3 + b * (-6)^2 + c * (-6) + d = 0, also -216a + 18 – 5 = 0
d) 1. Punkte bestimmen:
f(0)=-5; f‘‘(0)=-5; f‘(0)=7; f(1)=0
2. In Gleichungen einsetzen
f(0)=-5; a * 0 ^3 + b * 0^2 + c * 0 + d = -5, also d = -5
f’’(0)=-5; 6 * a * 0 + 2 * b =-5, also b=-5
f’(0)=7; 3 * a * 0 ^2 + 2 * b * 0 + c = 1, also c = 7
f(1)=0; a * 1^3 + b * 1^2 + c * 1 + d = 0, also 1a – 5 + 7 – 5 = 0
e) 1. Punkte bestimmen:
f(0)=0; f‘‘(0)=0; f(2)=5; f‘(2)=0
2. In Gleichungen einsetzen
f(0)=0; a * 0 ^3 + b * 0^2 + c * 0 + d = 0, also d = 0
f’’(0)=0; 6 * a * 0 + 2 * b = 0, also b=0
f(2)=5; a * 2^3 + b * 2^2 + c * 2 + d = 5, also 8a + 2c = 5
f’(2)=0; 3 * a * 2 ^2 + 2 * b * 2 + c = 0, also 12a + 2 = 0
