Linearität untersuchen bei Abbildungen

Question

Hallo Leute, wisst ihr, wie ich die folgende Abbildungen auf Linearität zu untersuchen habe? Was muss ich hierbei beachten?

\( \begin{array}{ll}\text { (a) } \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ;(x, y) \mapsto(2 x+3 y, x) & \end{array} \)
(b) \( \operatorname{Hom}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} ; f \mapsto f(1)  \)
(c) \( \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} ; z \mapsto \bar{z}(\mathbb{C} \) als \( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( )  \)
(d) \( \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} ; z \mapsto \bar{z}(\mathbb{C} \) als \( \mathbb{C} \) -Vektorraum \( ) \)

Answer 1

Versuche bei a) zu zeigen

f (( x,y) + (a,b) ) = f(x,y) + f(a,b)

und f( a*(x,y) ) = a * f(x,y)  für alle a,b,x,y ∈ℝ.

bei b) entsprechend

f( g+h) = f(g) + f(h) für ale g,h ∈ Hom(ℝ,ℝ)

etwa so: (g+h)(1)    (nach Def. von + für Abb'en ))

             = g(1) + h(1)  ( nach Def. von f )

             = f(g) + f(h)

und f( a*g) = a*f(g) entsprechend.

Bei c) d) klappt es bei c) aber d) scheitert

an \( \overline{z_1*z_2} = \overline{z_1}*\overline{z_2}\)

denn es müsste sein \( \overline{z_1*z_2} = {z_1}*\overline{z_2}\)

und wenn z1 reell ist ist das gleich aber bei komplex nicht.