Finde alle Primzahlenpaare p und q für die Folgendes gilt:

Question

Aufgabe:

Finde alle Primzahlenpaare p und q für die Folgendes gilt:

(p^q + q^p) ist eine Primzahl

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst überlegt, dass eine der Zahlen auf jeden Fall 2 sein muss. Grund dafür ist, dass wenn:

n = (p^q + q^p) eine Primzahl sein soll, dann dürfen p^q & q^p keine ungeraden Ergebnisse liefern, weil das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist:

m-gerade Zahl

(2m+1)^2 = 2m^2 + 4m + 1

2m^2 ist gerade, sowie 4m; diese +1 sind ungerade

Da nun die Potenz p^q eine Reihe aus Multiplikationen ungerader Zahlen wäre, da eine Primzahl ungerade sein muss (außer 2) ist das Ergebnis negativ. Wenn man anschließend beide ungeraden Ergebnisse addiert, kommt man auf ein gerades Ergebnis -> keine Primzahl.

Somit weiß ich, dass die eine Primzahl, sei es q, 2 sein muss, da alle anderen Primzahlen ungerade sind. Nun habe ich aber Schwierigkeiten einen Beweis zu liefern, welche Paare es gibt. Bei 2 und 3 hat es geklappt. Aber es sollen ja alle Paare gefunden werden und das soll bewiesen werden(mathematisch).

und

Answer 1

Ich habe mit Wolframalpha herumprobiert und vermute, dass (2;3) das einzige Paar ist, da alle anderen Ergebnisse mit p = 2 und q als ungerader Primzahl durch 3 teilbar waren.

Alle Primzahlen, die größer als 3 sind, lassen sich entweder als 6k-1 oder 6k+1 schreiben.

Also muss untersucht werden, ob

(2^{6k±1}+(6k±1)^2) mod 3 ≡ 0

für alle natürlichen Zahlen k gilt.

(6k+1)^2=36k'^2+12k+1

Modulo 3 ergibt das 1.

(2^{6k±1}+1) mod 3 ≡ 0

Jede Zweierpotenz mit ungeradem Exponenten lässt sich in der Form 3m+2 schreiben.

2^3=8=3*2+2

2^5=4*2^3=(3+1)*(3*2+2)=...=3*m+2

(Besser mit vollständiger Induktion...)

Damit ist die Behauptung richtig.