Basis eines Untervektorraumes

Question

Aufgabe: Ich habe den Untervektorraum U = {(x1,x2,x3,x4) ∈ ℝ4 | x1 + 2*x2 = x3 + 2*x4}, davon soll ich die Basis bestimmen.

Problem/Ansatz: Ich habe herausbekommen, dass der Untervektorraum die Dimension 3 besitzt.

Außerdem habe ich als Basis: {x2(-1,1-0-0)+x3(1,0,1,0)+x4(2,0,0,1)} herausbekommen. Dafür habe ich die Gleichung in ein Gleichungssystem geschrieben und als Ergebnis bekam ich das. Außerdem ist die Basis linear unabhängig.

Jetzt ist die Frage, ob ich mich verrechnet habe, weil ich nirgendwo die Lösung dazu finden kann.

Daher wäre es nett, wenn mir jemand kurz meinen Fehler zeigen kann, bzw. mein Vorgehen als richtig abhakt.

Zeppi

Comments

{x2(-2,1,0,0) + x3(1,0,1,0) + x4(2,0,0,1) | x1, x2, x3 aus IR}

Tippfehler? Das ist aber der Lösungsraum des LGS, eine Basis wäre

((-2,1,0,0), (1,0,1,0), (2,0,0,1))

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Ja, war ein Tippfehler. Danke

Also ist eine Basis z.B. der Lösungsraum ohne x2, x3, x4?

Jedenfalls danke für die schnelle Antwort.

Answer 1

Aloha :)

Du hast zunächst 4 mögliche Freiheitsgrade, einen für die Wahl jeder Koordinate. Durch die vorgegebene Gleichung wird dir ein Freiheitsgrad genommen, weil z.B. die Variable \(x_1\) durch die Wahl der 3 anderen vorgegeben ist:$$x_1=-2x_2+x_3+2x_4$$Der Untervektorraum hat also 3 Freiheitsgrade bzw. 3 Dimensionen. Eine Basis findest du, indem du die zu den 3 Freiheitsgraden "passenden" Vektoren extrahierst:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_2+x_3+2x_4\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Bis auf die \((-2)\) bei der ersten \(x_1\)-Komponente im ersten Basisvektor ist das dein Ergebnis. Die 3 erhaltenen Spaltenvektoren bilden nun eine Basis des Unterraums.

Comments

Also ist mein Vorgehen mehr oder weniger richtig? Bis auf den Tippfehler für die x1- Komponente?

Danke :)

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Ja, das kann man so machen ;)