Hallo kalona,
F(x)= 3sin(x)+ x 1/3 + C ist für diese Aufgabe völlig sinnlos!
a) f(x) = e−2x + 1/(1+x)
Ein Stammfunktionsterm von ekx ist 1/k · ekx ( wegen [ ekx ] ' = k·ekx )
ein Stammfunktionterm von 1/(k+x) ist ln( |k+x| )
→ Fc1,2 (x) = -1/2 · e-2x + ln( |1+x| ) + c1 für x≥-1
................................................ + c2 für x<-1
steht für alle Stammfunktionen von f
Vermutlich sollt ihr aber den Betrag einfach weglassen und ungenauer (# vgl. Nachtrag)
Fc (x) = -1/2 · e-2x + ln(1+x) + c schreiben
[ c = Integrationskonsante kann man zu jedem Stammfunktionsterm addieren weil dieser konstante Summand beim Ableiten wegfällt. Das c bei Fc bedeutet, dass es unendlich Stammfunktionsterme gibt, die sich jeweils um einen konstanten Summanden c unterscheiden ]
b) f(x) = sin(3t + a) − 2a
Ein Stammfunktionsterm von sin(x) ist - cos(x)
ein Stammfunktionsterm von sin(k·x + a) ist - 1/k·cos(k·x + a), weil beim Ableiten des letzteren die innere Ableitung k des cos-Terms wegfallen muss, weil sonst [ - cos(k·x + a) ] ' = k · sin(k·x + a) wäre.
→ Ga(x) = −1/3 cos(3t + a) − 2a·t + c steht für alle Stammfunktionen von f
Alles nicht so ganz einfach, oder? Bei Unklarheiten einfach nachfragen :-)
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# Nachtrag:
Das wäre nur dann korrekt, wenn der Definitionsbereich auf eines der Intervalle [ -1 ; ∞ [ bzw. ] - ∞ ; -1 ] (oder eine Teilmenge davon) eingeschränkt wäre.
Gruß Wolfgang
