Bestimmen Sie Stammfunktionen der folgenden Funktionen auf geeigneten Definitionsbereichen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie Stammfunktionen der folgenden Funktionen auf geeigneten Definitionsbereichen:

1) \( x^{n} \ln x, n \in \mathbb{N}_{>0} \)

2) \( e^{\sqrt{x}} \)

3) \(\displaystyle \frac{x^{3}}{\sqrt[5]{x^{4}+2}} \)

4) \(\displaystyle \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} \),

5) \( \sin (\ln x) \)

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand erklären wie man an die Aufgabe rangeht und vielleicht was vorrechnen, irgendwie verstehe ich nichts bei der Aufgabe, Videos und Skript helfen leider auch nicht weiter.

Answer 1

Benutze z.B.

https://www.integralrechner.de/

zur Hilfe und Selbstkontrolle und frag dann gezielter nach, wenn du etwas nicht verstehst.

Answer 2

1) Partielle Integration.

Setze x^n als u' und ln(x) als v.

2) zunächst Substitution z=\( \sqrt{x} \).

3) Wurzelradikand zubstituieren

4) sin²x durch 1-cos²x ersetzen, Term vereinfachen, erst dann integrieren.

Answer 3

1) D = R+, ln ist für x<=0 nicht definiert

2) D=[0;+oo)

3) D= R, keine Einschränkung

4) cos^2(x) ≠ 0

cos(x)≠ 0

D= R \  {k*pi-pi/2}, k ∈ Z

5) siehe 1)