Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit ( Deadline 01:00 Uhr heute)

Question

Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit. Geben Sie im Falle der Beschränktheit konkrete obere und untere Schranken an.

\( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n}=\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}} \);

Hallo, hab leider eine Abgabefrist, die heute Nacht ist, übersehen und würde mich um riesig um Hilfe freuen. Das Thema ist neu. Danke !

Comments

Tipp: Rubrik "ähnliche Fragen" konsultieren. Bsp. https://www.mathelounge.de/771183/folgen-auf-monotonie-und-beschranktheit-prufen

Deine Aufgabe ist eigentlich weniger aufwändig.

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Und morgen um 1:00 Uhr ist heute schon gestern.

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Danke Lu für den Link.

Ich hab jetzt versucht es nach dem Schema zu machen, aber ich kann mit dem Endergebnis nichts anfangen.

Ich habe einige Zahlen eingesetzt und meine Behauptung ist dementsprechend das sie monoton steigend ist ab n=>2 .

Dann habe ich  diese Gleichung aufgestellt:

\( \frac{n^2+n-1}{n^2} \) < \( \frac{(n+1)^2+n+1-1}{(n+1)^2} \)

dann umgeformt zu

\( \frac{n^2+n-1}{n^2} \) - \( \frac{(n+1)^2+n+1-1}{(n+1)^2} \)

und weiter Versucht zu vereinfachen mit erweitern Binom.Formel und ausmultiplizieren.

Mein Ergebnis lautet wie folgt:

--> \( \frac{6n^3+2n^2-n-1}{n^4+2n^3+n^2} \) < 0

Wie geht es jetzt weiter oder was kann ich daraus schließen? Wie beweist das jetzt meine Monotonie oder Beschränktheit?

Gedanke:

Wenn n gegen unendlich geht, dann würde der Nenner schneller immer kleiner werden, d.h die Folge ist monoton steigend.

Wie sehe ich jetzt ob sie beschränkt ist. Und das < 0 ist ja falsch?

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ich muss mich korrigieren :

Es ist natürlich >0 , dann würde es ja passen, weil der Nenner nie 0 ist.

Ich bin verwirrt:

\( \frac{n^2+n-1}{n^2} \) > \( \frac{(n+1)^2+n+1-1}{(n+1)^2} \) heißt doch eigentlich dass es monoton fallend ist, oder nicht?

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Schreibe \( a_n = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \)

Das ist sicherlich nach unten durch 0 und nach oben durch 2 beschränkt.

Und \( a_1 = 1 \), \( a_2 = 1.25 > a_1 \) und \( a_3 = 1.\bar 2 < a_2 \). Das heißt es liegt keine Monotonie vor...

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Soll das heißen, dass es in diesem Fall auch keine Monotonie gibt? so richtig habe ich es noch nicht verstanden.

wenn ich für \( \frac{n^2+n-1}{n^2} \) n>=2 einsetzte, dann werden die Zahlen bei mir kleiner

und jeweils ist n+1 auch immer kleiner z.B. n=2

\( \frac{n^2+n-1}{n^2} \) >  \( \frac{(n+1)^2+n+1-1}{(n+1)^2} \), dass heißt doch dann monoton fallend?

Ist die untere Schranke 0, wegen dem Nenner≠0 und die obere Schranke 2 , Weil ab n=2 ??

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0 ist eine untere Schranke.

zeigst du durch \( 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \geq 0 \)  für alle n∈ℕ etwa so:

\( 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \geq 0 \)

\( <=> 1 + \frac{1}{n}  \geq \frac{1}{n^2} \)

Stimmt, weil linke Seite immer größer 1 und rechte kleiner 1.

Entsprechend für obere Schranke 2

\( 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \leq 2 \)

und monoton fallend für n>2 geht auch in der Art:

\( 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \geq 1 + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \)

\( <=> \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \geq  \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \)

Kannst du umformen zu ..  n^2 ≥ n+1

was für n>2 sicherlich stimmt.

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Danke mathef für die detaillierte Erklärung !!!