Zeigen Sie, V = U ⊕ W, d.h. V = U + W und U ∩ W = {0}

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum, sowie U, W Unterräume von V mit
V = U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W}.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1.) V = U ⊕ W, d.h. V = U + W und U ∩ W = {0}.
2.) Zu jedem v ∈ V gibt es eindeutig bestimmte u ∈ U und w ∈ W mit v = u + w.
3.) Ist u ∈ U\{0} und w ∈ W\{0}, so sind u und w linear unabhänngig

Hallo Leute, könnte mir jemand mir hierbei helfen? Ich stehe da total aufm Schlauch

Answer 1

Die Beweisstruktur ist dir klar?
Also,wenn du zeigen kannst: 1 => 2 => 3 => 1 , dann sind alle Aussagen äquivalent.

Ich gehe mal stark davon aus, dass die Vektorraumaxiome und die Definition des Unteraums reichen , um deine jeweiligen Richtungen zu beweisen.

Ich denke mal
3=> 1 könntest du mit folgendem Hinweis zeigen:
V= U+W ist ja bereits gegeben.
Also müssen wir nur zeigen, dass U ∩ W = {0} aus der linearen Unabhängigkeit von u ∈ U\{0} und w ∈ W\{0} folgt.

Betrachte hierzu mal die Abgeschlossenheit(ist s ∈ U und t ∈ U so gilt u1+u2 ∈ U und a*u ∈ U für jedes Skalar)
Was folgt daraus?

Vielleicht schaffen wir es ja, die restlichen Richtungen gemeinsam zu beweisen.

Comments

Aus der Abgeschlossenheit folgt, dass die Summe zweier Vektoren wieder ein Vektor ist, was ja in dem Fall V=U+W wäre, oder? Meinst du das oder worauf wolltest du hinaus?

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Nein, das meine ich nicht.
Du hast ja nach Definition schon V = U + W , das heißt,das muss gar nicht erst extra gezeigt werden, weil das so definiert ist.

Sorry, irgendwie habe ich die Skalare Abgeschlossenheit nicht oben reingeschrieben. Ich editiere das gleich mal.
Ich möchte eher in die Richtung:
Es reicht zu zeigen, dass ein beliebiges Element nur in U oder in W auftreten kann(außer die 0).
Was würde es für die lineare Unabhängigkeit heißen, wenn ein Element in U und in W liegt?