Sei V ein Vektorraum und seien U , W1 , W2 untervektorräume von V mit V = w1 ⊕ W2 und W1 ⊆U
Beh.: U ⊆W1 + (U ∩ W2)
Sei u ∈ U. Also zu zeigen u ∈ W1 + (U ∩ W2).
Da U Untervektorraum von V ist und V = w1 ⊕ W2 gibt es genau
ein w1 ∈ W1 und ein w2 ∈ W2 mit u = w1 + w2 .
Wegen W1 ⊆ U unterscheide ich die Fälle
u ∈ W1 und u ∉ W1 ,
Falls u ∈ W1 ist wegen u = w1 + 0 also u ∈ W1 + (U ∩ W2) mit w2=0.
Anderenfalls ist u ∉ W1 . Und w1 ∈ W1 ⊆U hat zur Folge w1 ∈ U.
Da u = w1 + w2 gilt auch u - w1 = w2 und weil u und w1 beide in U sind,
ist auch w2 in U . Damit also w2 ∈ U ∩ W2. Und somit u ∈ W1 + (U ∩ W2).
