seien U , W1 , W2 untervektorräume von V mit V = w1 ⊕ W2 und W1 ⊆U dann gilt U ⊆W1 + (U ∩ W2)

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie : Sei V ein Vektorraum und seien U , W1 , W2 Untervektorräume von V mit V = W1 ⊕ W2  und W1 ⊆U

dann gilt U ⊆W1 + (U ∩ W2)

Kann mir jemand bei diesem Beweis helfen ?
Problem/Ansatz:

Answer 1

Sei V ein Vektorraum und seien U , W1 , W2 untervektorräume von V mit V = w1 ⊕ W2  und W1 ⊆U

Beh.: U ⊆W1 + (U ∩ W2)

Sei u ∈ U.  Also zu zeigen   u ∈ W1 + (U ∩ W2).

Da U Untervektorraum von V ist und V = w1 ⊕ W2   gibt es genau

ein w1  ∈ W1  und ein w2  ∈ W2  mit  u = w1 + w2 .

Wegen W1  ⊆  U unterscheide ich die Fälle

  u ∈ W1       und     u ∉ W1 ,

Falls   u ∈ W1   ist  wegen  u = w1 + 0 also  u ∈ W1 + (U ∩ W2) mit w2=0.

Anderenfalls ist u ∉ W1 .  Und w1 ∈ W1 ⊆U hat zur Folge w1 ∈ U.

 Da  u = w1 + w2  gilt auch   u - w1 = w2  und weil u und w1 beide in U sind,

ist  auch  w2 in U . Damit also   w2 ∈  U ∩ W2.  Und somit     u ∈ W1 + (U ∩ W2).

Comments

Bitte um Erläuterung der Schlüsse  Falls w1 ∈ U \ {0}  ist  ... w2=0   und    Anderenfalls ist w1 = 0

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Danke für den Kommentar. Da war was falsch. Habe es jetzt

(hoffentlich) passend korrigiert.