Wie zeigt man: W1 ∪ W2 ist ein Unterraum von V genau dann, wenn W1 ⊆ W2 oder W2 ⊆ W1 gilt?

Question

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, und seien W₁,W₂ Unterräume von V . Wie zeigt man: W₁ ∪ W₂ ist ein Unterraum von V genau dann, wenn W₁ ⊆ W₂ oder W₂ ⊆ W₁ gilt?

Answer 1

Wie zeigt man: W₁ ∪ W₂ ist ein Unterraum von V genau dann, wenn W₁ ⊆ W₂ oder W₂ ⊆ W₁ gilt?

wenn W₁ ⊆ W₂ oder W₂ ⊆ W₁ gilt, dann ist W₁ ∪ W₂  entweder gleich W₁ oder gleich  W₂ , also ein Unterraum.

Die andere Richtung : Angenommen  W₁ ∪ W₂ ist ein Unterraum von V

  und  es ist weder  W₁ ⊆ W₂ noch  W₂ ⊆ W₁ . Dann gibt es x ∈  W₁ und x ∉ W₂

Dann gibt es  x ∈ W₁ ∪ W₂  mit    x ∈  W₁ und x ∉ W₂         #   und

            es gibt  y ∈ W₁ ∪ W₂  mit    y ∈  W₂ und y ∉ W₁     ##

Da aber   W₁ ∪ W₂ ist ein Unterraum von V ist, ist x+y ∈ W₁ ∪ W₂

also  x+y ∈ W₁  oder  x+y ∈ W₂    .

Wäre  x+y ∈ W₁  dann ist wegen  x ∈  W₁ auch (x+y) - x = y ∈  W₁ im Widerspruch zu  ##

Wäre  x+y ∈ W₂  dann ist wegen  y ∈  W₂ auch (x+y) - y = x ∈  W₂ im Widerspruch zu  #.

Also kann  W₁ ∪ W₂ ist ein Unterraum von V sein.