Hallo Leute, es ist eine Beispielklausur
wer hilft mir bei verständlichem Lösungsweg, ich danke euch für die Hilfe
Aufgabe 2
Lösen Sie die Gleichung \( \frac{a^{2}+2 a+1}{(a-3)(a+1)}=\frac{a+1}{2 a-1}+\frac{a+2}{a-3} \) für \( a \in \mathbb{R} \backslash\{-1,1 / 2,3\} \).
Aufgabe 3
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung. Nutzen Sie gegebenenfalls Tabelle 1 .
\( \sin (x)=\sqrt{1-\sin (x)^{2}} \)
Aufgabe 4
Ein Polynom \( p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit Grad 3 hat eine doppelte Nullstelle bei \( x=2 \) und eine einfache Nullstelle bei \( x=3 \). Für \( x=0 \) hat es den Wert \( p(0)=5 \). Geben Sie eine Abbildungsvorschrift für \( p \) an.
Aufgabe 5
Vervollständigen Sie die Funktion \( f \) möglichst einfach zu einer Funktion \( \tilde{f}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) stetig ist. Begründen Sie, warum \( \tilde{f} \) auf dem gesamten Definitionsbeich, also \( (0, \infty), \) stetig ist
\( f: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\ln (x), & \text { für } 0<x \leq 1, \\ x / 2, & \text { für } 2<x\end{array}\right. \)
Aufgabe 6
Skizzieren Sie die Funktion \( f: x \mapsto 2 \cdot \sin (x)-2 \) auf dem Intervall \( [-\pi, 3 \pi] \) und lesen Sie aus dem Graphen den Bildbereich (Wertebereich), die Nullstellen und die Stellen ab, an denen \( f \) maximal bzw. minimal wird.
Aufgabe 7
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung \( z^{5}=5^{5} i \) rechnerisch und zeichnen Sie sie in die Gaußsche Zahlenebene. Hinweis: Die Winkel müssen nicht auf das Intervall \( (-\pi, \pi] \) umgerechnet werden.
Aufgabe 8
Schreiben Sie den Vektor \( (1,2,3)^{\top} \) als Linearkombination der folgenden drei Vektoren:
\( (1,1,1)^{\mathrm{T}},(1,-1,0)^{\mathrm{T}},(1,1,-2)^{\mathrm{T}} \)
