Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung: z8 + 4z4 + 4 = 0

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung:

z^8 + 4z^4 + 4 = 0

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre mal das ich das z ausklammere, würde dann so aussehen: 0 = z( z^7 + 4z^3 + 4/z)

danach würd ich sagen z1 = 0 und z2: 0 = z^7 + 4z^3 + 4/z   und da weiß ich auch leider dann nicht mehr weiter bzw bin ich mir auch garnicht sicher ob ich überhaupt mit meinem Ansatz richtig bin... wär super wenn mir wer weiterhelfen könnte!

Comments

Mein Ansatz wäre mal das ich das z ausklammere, ...

keine gute Idee! Versuche mal die erste binomische Formel.

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hmm wo soll ich die anwenden da komm ich grad nicht drauf...

Answer 1

z^8 + 4z^4 + 4 = 0

quadratische Gleichung:

(z^4+2)^2 = 0

z^4 = -2

Lösung:

z1 = |z|*(cos(45) + i*sin(45)) 

z2 = |z|*(cos(135) + i*sin(135))

z3 = |z|*(cos(225) + i*sin(225))

z4 = |z|*(cos(315) + i*sin(315))

mit |z| = \( \sqrt[4]{2} \)

Answer 2

Da kannst du nicht z ausklammern, weil du eine z-freie Zahl hast:

Probiere mal folgenden Weg:

\(z^8 + 4z^4 + 4 = 0\)

Substitution:  \(z^4 =u\)

\(u^2 + 4u + 4 = 0\)

Comments

ja da würd ich dann meiner Rechnung nach auf u = -2 * (Wurzel aus u) -2 kommen aber da komm ich ja auch nicht sehr weit oder? oder steh ich hier auf der Leitung...