Die wirklich einfachste Methode, eine Geradengleichung aus zwei Punkten A und B zu bestimmen, ist die Anwendung der Zweipunkteform. Diese sieht allgemein so aus:
$$y={ y }_{ 1 }+\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } (x-{ x }_{ 1 })$$
Dabei sind x1 bzw. y1 die x- bzw.y-Koordinaten eines der beiden Punkte und x2 bzw. y2 die x- bzw.y-Koordinaten des anderen Punktes.
Setzt man die für die erste Gerade gegebenen Punkte
$$A({ x }_{ 1 }|{ y }_{ 1 })=(-5|7)$$$$B({ x }_{ 2 }|{ y }_{ 2 })=(8|1)$$
ein, so erhält man:
$$y=7+\frac { 1-7 }{ 8-(-5) } (x-{ (-5) })$$$$\Leftrightarrow y=7+\frac { -6 }{ 13 } (x+5)$$Ausrechnen und Zusammenfassen:$$\Leftrightarrow y=7-\frac { 6 }{ 13 } x-\frac { 30 }{ 13 }$$$$\Leftrightarrow y=\frac { 91 }{ 13 } -\frac { 6 }{ 13 } x-\frac { 30 }{ 13 }$$$$\Leftrightarrow y=-\frac { 6 }{ 13 } x+\frac { 61 }{ 13 }$$
Das ist die Gleichung der Geraden G1.
Ebenso erhält man für die zweite Gerade G2 mit den Punkten
$$C=(-6|5)$$$$D=(9|-2,5)$$
die Geradengleichung:
$$y=5+\frac { -2,5-5 }{ 9-(-6) } (x-{ (-6) })$$$$\Leftrightarrow y=5+\frac { -7,5 }{ 15 } (x+6)$$$$\Leftrightarrow y=5-\frac { 1 }{ 2 } x-3$$$$\Leftrightarrow y=-\frac { 1 }{ 2 } x+2$$
Durch Gleichsetzen der beiden Funktionsterme ergibt sich:
$$-\frac { 6 }{ 13 } x+\frac { 61 }{ 13 } =-\frac { 1 }{ 2 } x+2$$$$\Leftrightarrow -\frac { 12 }{ 26 } x+\frac { 122 }{ 26 } =-\frac { 13 }{ 26 } x+\frac { 52 }{ 26 }$$$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 26 } x=-\frac { 70 }{ 26 }$$$$\Leftrightarrow x=-70$$
und daraus durch Einsetzen von x=70 in eine der beiden Geradengleichungen (ich nehme G2):
$$\Rightarrow y=-\frac { 1 }{ 2 } x+2=37$$
Somit sind die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Geraden G1 und G2:
$$S(-70|37)$$
