Ist meine Ableitung richtig? e-Funktion

Question

Ich wollte nur eine kurze Frage stellen, ob ich die Ableitung richtig gemacht habe :)

f(x) = 10x*e^-1/2x  die -1/2 steht als Exponent für das e

f '(x) = (-5x+10) e^-x/2 die -x/2 steht als Exponent für das e

Falls ich etwas falsch gemacht habe, bitte erklärt es mir. Dankeschön :)

Comments

f(x) = 10x*e^-1/2x die -1/2 steht als Exponent für das e

Das x steht also nicht mit im Exponenten?

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Ups hab das x vergessen, doch der steht auch mit im Exponenten, danke für die Anmerkung.

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Vom Duplikat:

Titel: Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte berechnen?

Stichworte: nullstellen,wendepunkt,extremstellen,funktion

Hallo :)

Wenn meine Aufgabe lautet: Berechne die Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte der Funktion f(x) = 10x*e^-1/2x

muss ich dann für die Nullstellen die f(x)=0 setzen oder die erste Ableitung? Und wie gehe ich da generell vor, also auch bei den anderen Rechnungen?

Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann :)

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Vom Duplikat:

Titel: Wie finde ich heraus welcher Teil dieser Funktion f(x) = 10x*e^-1/2x links- und welcher rechtsgekrümmt ist?

Stichworte: krümmung

Wie finde ich heraus welcher Teil dieser Funktion f(x) = 10x*e^-1/2x links- und welcher rechtsgekrümmt ist?

Ich bitte um eure Hilfe :)

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Deine Fragen betreffen alle den gleichen Funktionsterm. Bitte solche Fragen nicht auseinanderpflücken. Denn, wenn man bereits die Ableitungen hat, ist es ein leichtes die Krümmung zu bestimmen.

Zudem hast du schon die Wendepunkte. Weißt du das in Wendepunkten sich die Krümmung des Graphen ändert?

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Nein wusste ich nicht, aber jetzt weißt ich es. Ich versuch mal mein bestes :)

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Bitte die Frage und alle Antworten hier
stehen lassen und nicht verschieben.

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Ich hab das jetzt alles gemacht und habe raus bekommen:

Nullstelle (0/0)

Extremstelle (2/7,4) => Hochpunkt

Wendestelle (4/5,4)

Ist das so richtig?

Und ich hätte da noch eine Frage, wie kann ich das Krümmungsverhalten bestimmen?

Ich habe auf 2 Stellen gerundet und erhalten die gleiche Nullstelle, HP (2 | 7,36), WP (4 | 5,41)
Krümmungsverhalten:
f''(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f ist in I rechtsgekrümmt
f''(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f ist in I linksgekrümmt
Vgl. auch Antwort vom Mathecoach.

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Bitte kontrollieren und nachredigieren, i.e. Antworten den Versionen zuordnen. Fragen nun wie gewünscht zusammengefügt.

Danke

Answer 1

Das sieht Prima aus. Glückwunsch.

f(x) = 10·x·e^(- 1/2·x)
f'(x) = e^(- 1/2·x)·(10 - 5·x)
f''(x) = e^(- 1/2·x)·(2.5·x - 10)

Hier noch eine Skizze damit du dir Y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendepunkte besser vorstellen kannst.

Wie du eventuell bemerkst, ist der Graph links vom Hochpunkt streng monoton steigend und rechts vom Hochpunkt streng monoton fallend.

Wie du eventuell auch bemerkst, ist der Graph links vom Wendepunkt rechtsgekrümmt und rechts vom Wendepunkt linksgekrümmt.

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Dankeschön :D

Answer 2

Text erkannt:

Ableitung mit der Quotientenregel:
\( f(x)=10 x \cdot e^{-\frac{1}{2} x}=\frac{10 x}{e^{\frac{1}{2}} x} \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{10 \cdot e^{\frac{1}{2} x}-10 x \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}}{\left(e^{\frac{1}{2} x}\right)^{2}}=\frac{10-5 x}{e^{\frac{1}{2} x}} \)

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Danke für die Antwort :)

Answer 3

10 * x * e ^(-1/2x)

Produktregel. Die 10 laß ich erst einmal weg.

x * e ^(-1/2x)
u * v = u´ * v + u * v´
u = x
u ´= 1
v = e ^(-1/2x)
v ´ = e ^(-1/2x) * -1/2
Einsetzen
1 * e ^(-1/2x)  +  x * e ^(-1/2x) * -1/2
Ausklammern
e ^(-1/2x) *  [ 1 + (-1/2 * x ) ]
e ^(-1/2x) *  ( 1 - 1/2 * x )
Und noch mal 10

f ´( x ) = 10 * e ^(-1/2x) *  ( 1 - 1/2 * x )

Answer 4

Hallo,

Nullstellen berechnest du mit f(x) = 0

Extremstellen mit f'(x) = 0

und Wendestellen mit f''(x) = 0 (weitere Bedingung f'''(x) ungleich null)

Für die y-Koordinaten deine Ergebnisse in f(x) einsetzen.

Um festzustellen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, die Ergebnisse in die 2. Ableitung einsetzen oder eventuelle Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung bestimmen.

Melde dich einfach wieder, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

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Dankeschön, ich versuche das mal umzusetzen. Ich melde mich dann bei Fragen :)

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Ich hab das jetzt alles gemacht und habe raus bekommen:

Nullstelle (0/0)

Extremstelle (2/7,4) => Hochpunkt

Wendestelle (4/5,4)

Ist das so richtig?

Und ich hätte da noch eine Frage, wie kann ich das Krümmungsverhalten bestimmen?

Answer 5

Für die Bestimmung
des Nullpunkts berechnest du f = 0
für Extrempunkte f ´ = 0 ( Steigung 0 )
für Wendepunkte f ´´ =  0 ( Krümmung 0 )

Es gibt sicherkich noch viel zum Nachfragen,

Comments

Dankeschön, dass hilft mir schon so weiter :)

Wenn ich Fragen habe, melde ich mich.

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Ich hab das jetzt alles gemacht und habe raus bekommen:

Nullstelle (0/0)

Extremstelle (2/7,4) => Hochpunkt

Wendestelle (4/5,4)

Ist das so richtig?

Und ich hätte da noch eine Frage, wie kann ich das Krümmungsverhalten bestimmen?

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Was du schreibst ist (ich will das Wort "falsch" vermeiden) nicht korrekt.

"Stellen" sind keine Punkte, sondern nur Zahlen.

Die Nullstelle ist x=0.

Was du geschrieben hast ist der Schnittpunkt mit der x-Achse.

Die Extremstelle ist x=2.

Was du geschrieben hast ist der Extrempunkt.

Die Wendestelle ist x=4.

Du hast den Wendepunkt genannt.

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Danke, dann änder ich das :)

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PS:

Da in der Aufgabe neben der Nullstelle der Extrempunkt und der Wendepunkt gefordert waren, ist die Angabe des Hochpunktes und des Wendepunktes nicht verkehrt.

Du darfst diese Punkte dann nur nicht Extremstelle und Wendestelle nennen.

Der Hochpunkt hat allerdings nicht die y-Koordinate 7,4. Die richtige y-Koordinate des Hochpunktes ist \( \frac{20}{e} \).

Die y-Koordinate des Wendepunkts ist entsprechend nicht 5,4, sondern \( \frac{40}{e^2} \).

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@Ime,
deine Werte sind richtig.

Zum Krümmungsverhalten
f ´´ ( x ) = 5/2 * e^ (-1/2*x) * (x - 4)
Rechtskrümmung : f ´´ ( x ) < 0
5/2 * e^ (-1/2*x) * (x - 4) < 0
Die e-Funktion ist stets positiv
5/2 * e^ (-1/2*x) ist stets positiv
positiv * negativ < 0
x - 4 ist negativ < 0
x < 4
- ∞ .. 4 : Rechtskrümmung
4 .. + ∞ : Linkskrümmung

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Achso, dann hab ich mich falsch ausgedrückt, danke für den Hinweis.

Warum ist denn die y-Koordinate anders? Ich dachte, dass wenn ich den x-Wert von

f '(x) = 0  in f(x) einsetze die y-Koordinate rauskommt. x = 2 => Für den HP

Und für die Wendestelle hab ich dasselbe gemacht nur mit der 2. Ableitung x = 4

Hab ich falsch gerechnet?

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@georgborn Dankeschön :)

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Frag nach bis alles klar ist.

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Die x-Koordinaten sind doch richtig!

Und wenn du x=2 bzw. x=4 in die Funktionsgleichung einsetzt, kommen die beiden von mir genannten y-Werte raus.

Du hast die Werte x=2 bzw. x=4 nur in einen Taschenrechner eingegeben und die erhaltenen ungenauen Näherungswerte auf eine Nachkommastelle gerundet.

Und wenn du 8 oder 10 oder 20 Nachkommastellen angegeben hättest - das macht es nicht besser.

Die tatsächlichen y-Koordinaten habe ich genannt.

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Ich habe dir bei meiner ersten Antwort unter

https://www.mathelounge.de/807198/ist-meine-ableitung-richtig-e-funktion

eine Skizze hinzugefügt. Eventuell kannst du daran die Antworten besser nachvollziehen.

Der Hochpunkt hat näherungsweise die y-Koordinate 7.4 und der Wendepunkt hat näherungsweise die y-Koordinate 5.4

Die exakten Koordinaten schreibt man hingegen mit e hin.

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@georgborn Mach ich.

Ich versuche es gerade zu verstehen, bevor ich eine unnötige Frage stelle :)

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@abakus

Okay, verstehe, also hab ich nichts dramatisch falsches gemacht. Es ist ja nur eine Hausaufgabe, also sind Näherungswerte in Ordnung :)

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@Der_Mathecoach

Hab's mir angeschaut Dankeschön. Ich glaube so langsam hab ich es verstanden :)

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Hab's mir angeschaut Dankeschön. Ich glaube so langsam hab ich es verstanden :)

Da man fast alle Fragen in der Analysis bereits näherungsweise direkt mit dem Graphen beantworten kann, sollte jeder Schüler wissen das man mit einer Wertetabelle bereits recht einfach einen Graphen skizzieren kann.

Meist sieht es so aus, dass man bei einer Funktion einen Graphen gegeben hat oder irgendwann einen zeichnen soll. Daher mein Tipp. Ziehe das Skizzieren mit einer Wertetabelle vor, auch wenn man darin noch nicht genau alle markanten Punkte erkennen kann. Näherungsweise hat man dann aber bereits eine Ahnung wie die Funktion aussehen könnte.

D.h. trage von mir aus zuerst auch nur die Punkte der Wertetabelle ein und verbinde die Punkte noch nicht. Das kann man später, wenn man die Extrem- und Wendepunkte berechnet hat ja immer noch machen.

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Ja, das stimmt. In meiner Aufgabe steht "skizziere den Graphen". Danke für den Tipp :)

Answer 6

zweite Ableitung positiv / zweite Ableitung negativ

Comments

Tut mir Leid, aber ich verstehe es nicht so richtig. Kannst du es mir vielleicht anders erklären?

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Bilde die zweite Ableitung (aber die hast du ja schon).

Untersuche, in welchen Intervall deine zweite Ableitung Werte größer als 0 annimmt.

Dort ist der Funktionsgraph linksgekrümmt.

Kleiner Tipp: Das Krümmungsverhalten ändert sich immer an der Wendestelle.

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Okay, dann versuch ich das mal :)