f(x)=1/2 x^4+2x^3-70x^2-150 Extrempunkte berechnen bzw. korrekt ausklammern

Question

Aufgabe: Extremstellen und Punkte berechnen für

f(x)=1/2 x^4+2x^3-70x^2-150

Reihenfolge:

1.erste Ableitung bilden (inklusive kürzen in Schritten) (lokale Krümmung)

2. zweite Ableitung aus dieser bilden inkl.kürzen

3.um pq- Formel zu verwenden bei der ersten Ableitung eventuell ausklammern und Satz des Nullprodukts anwenden. Dann pq- Formel anwenden gegebenen falls noch anpassen um p und q zu bestimmen.

4.x1 und x2, gegebenen falls noch ein anderes x einsetzen (vom Satz des nullprodukts) und stellen ausrechnen.

5. Angeben ob die vorliegenden Punkte hoch oder Tiefpunkte sind.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht es auszurechnen, komme aber nicht so recht weiter bzw. bin mir nicht sicher, ob mein Ergebnis stimmt oder ich ein x vergessen habe mitzubedenken, vielleicht habe ich auch falsch gekürzt. Ausklammern hab ich nicht so recht verstanden deshalb musste ich da eher raten weshalb mein Ergebnis wahrscheinlich falsch sein wird.Um mich schrittweise zu kontrollieren würde der Lösungsweg  zum lernen sehr helfen.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion lautet:$$f(x)=\frac{1}{2}x^4+2x^3-70x^2-150$$Ihre Ableitung können wir faktorisieren:$$f'(x)=2x^3+6x^2-140x=2x(x^2+3x-70)$$Wir suchen nun zwei Zahlen, deren Summe \(3\) und deren Produkt \((-70)\) ist. Das leisten \(10\) und \(-7\). Damit können wir nach dem Satz von Vieta weiter faktorisieren:$$f'(x)=2x(x+10)(x-7)$$Kandidaten für Extremwerte sind also bei:$$x_1=-10\quad;\quad x_2=0\quad;\quad x_3=7$$Wir bilden die zweite Ableitung, um die Art der Extrema zu prüfen:

$$f''(x)=2(x+10)(x-7)+2x(x-7)+2x(x+10)$$$$f''(-10)=340>0\quad\implies\quad\text{Minimum}$$$$f''(0)=-140\quad\quad\;\quad\implies\quad\text{Maximum}$$$$f''(7)=238>0\quad\;\quad\implies\quad\text{Minimum}$$

~plot~ x^4/2+2x^3-70x^2-150 ; {-10|-4150} ; {0|-150} ; {7|-3387/2} ; [[-15|12|-5000|1000]] ~plot~

Answer 2

Extrempunkte sind bei x=-10 und bei x=0 und bei x=7.

Comments

Und ? Da steht das der dritte bei mir nicht bzw. vielleicht haben sie den vergessen hinzuschreiben?

Answer 3

f(x)=1/2 x^4+2x^3-70x^2-150

f'(x)=2x^3+6x^2-140x

   =2x(x^2+3x-70)

f''(x)=6x^2+12x-140

    =6*(x^2+2x-70/3)

:-)