Stochastik - Berechnung von Axiome von Kolmogoroff beim Glücksrad

Question

Aufgabe:

Ein Glücksrad ist in gleich große Sektoren unterteilt, die blau, rot, gelb und weiß sind. Die Wahrscheinlichkeit, auf einen blauen Sektor zu treffen beträgt 1/16, auf einen roten zu treffen 5/16, auf einen gelben 1/4 und auf einen weißen 3/8.

a) Begründen Sie, warum die gegebenen Wahrscheinlichkeiten bei solch einem Glücksrad möglich sind. Fertigen Sie dazu eine Skizze des Glücksrads an.

b) Weisen Sie die Axiome von Kolmogoroff für diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nach.

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit auf einen roten oder blauen Sektor zu treffen.

d) Ermitteln Sie, in wie viele gleich große Sektoren das Glücksrad eingeteilt sein könnte.

Problem/Ansatz: Die Berechnung von Axiome von Kolmogoroff fällt mir schwer, da ich das Thema zum ersten mal habe und nicht so genau weiss, wie da voran gehen soll.

Ebenso komme ich bei der d) und a) auch nicht wirklich weiter. Wenn mir da jemand helfen klnnte wäre das echt super, da ich keine Ahnung habe wie diese Aufgaben zu lösen sind.

Bei der c) habe ich bereits eine Lösung, die wäre: 1/16 + 5/16 = 6/16 = 3/8

Dankeschön!

Answer 1

Hallo Gast,

bei a), denke ich, soll man verwirrt werden, weil man vielleicht im ersten Augenblick denkt, dass die "Sektoren"/"Teile des Glücksrads" mit den verschiedenen Farben gleich groß sind (also 1/4 blau, 1/4 rot, ...). Das würde natürlich nicht diese Wahrscheinlichkeiten ermöglichen, falls das Rad sich nicht irgendwie ungleichmäßig dreht :)

In diesem Sinne soll man wohl bei a) darauf kommen, dass die einzelnen Sektoren zwar untereinander gleich groß sind, dass aber jeweils mehrere Sektoren mit der gleichen Färbung die Gesamtmenge einer bestimmten Farbe ergeben.

c) sehe ich genauso wie Du

d) man wird mindestens 16 Sektoren brauchen, weil die kleinste Wahrscheinlichkeit 1/16 ist und die Sektoren ja alle gleich groß sein sollen. Glücklicherweise sind alle anderen Wahrscheinlichkeiten auch Vielfache von 16, sodass man die Sektoren nicht noch kleiner wählen muss. Man braucht also hier einen gemeinsamen Nenner für die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten.

b) Hier muss man sich auf die Axiome selbst beziehen.

Erst einmal würde ich Ω, Σ und P definieren. Ω Ist die Ergebnismenge (Glücksrad steht auf blauem, rotem, gelbem oder weißem Sektor). Σ ist das Ereignissystem. In diesem Beispiel interessieren wir uns für die Ereignisse Glücksrad trifft blauen, roten, gelben oder weißen Sektor. P ist die Wahrscheinlichkeit für bestimmte Ereignisse (gegeben in der Aufgabe).

Jetzt die Axiome (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Axiome_von_Kolmogorow):

1. Für jedes Ereignis A ∈ Σ ist die Wahrscheinlichkeit von A eine reelle Zahl zwischen 0 und 1: 0 ≤ P ( A ) ≤ 1.

Jedes Ereignis (Glücksrad trifft blauen, roten, gelben bzw. weißen Sektor) hat laut Aufgabenstellung eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1. Diese Forderung ist also erfüllt.

2. Das sichere Ereignis Ω ∈ Σ hat die Wahrscheinlichkeit 1: P ( Ω ) = 1.

Das sichere Ereignis heißt hier, dass das Glücksrad eine der vier Farben trifft. Wenn wir die oben gegebenen Wahrscheinlichkeiten addieren, kommt 1 raus. Diese Forderung ist also auch erfüllt.

3. Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Dabei heißen Ereignisse A_i inkompatibel, wenn sie paarweise disjunkt sind, also bei A_i ∩ A_j = ∅ für alle i ≠ j. Es gilt daher P ( A₁ ∪ ˙ A₂ ∪ ˙ ⋯ ) = ∑ P ( A_i ). Diese Eigenschaft wird auch σ-Additivität genannt.

Alle Ereignisse in diesem Beispiel sind inkompatibel (es ist nicht vorgesehen, dass das Glücksrad auf zwei Farben gleichzeitig stehen bleibt, das heißt also zum Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad blau UND rot trifft ist 0). Wenn wir davon ausgehen, dass es sich um ein "normales" Glücksrad handelt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Punkt entlang des Radius' stehenzubleiben, gleichverteilt. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Farbe zu treffen, ergibt sich aus der Menge der entsprechend eingefärbten Sektoren. Und eigentlich folgt aus dieser Überlegung, dass die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung von mehreren Ereignissen (also die Vereinigung der Ereignisse "Glücksrad trifft rot" und "Glücksrad" trifft "blau", was dann heißt "Glücksrad trifft entweder rot oder blau") gleich der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten sein muss. Das können wir zwar streng genommen nicht aus dem Text oben Schlussfolgern, aber wenn wir uns einig darüber sind, was ein Glücksrad ist, dann folgt das. Damit wäre auch die 3. Forderung erfüllt.