Waschbären einer Kolonie

Question

Aufgabe:

Man schätzt, dass sich die Zahl der Waschbären einer Kolonie alle drei Jahre verdoppelt. Zum Zeitpunkt t=0 (t in Jahren) werden 20 000 Waschbären gezählt.

a) Finden sie ein passendes exponentielles Modell f(x)=A*e^kx für die Bestandsentwicklung

b) wie viele Waschbären sind nach einem Jahr, nach vier Jahren, nach sechs Jahren zu erwarten ? Welche dieser Fragen kann man ohne Rechnung beantworten ?

c) Wie lange wird es laut Modell dauern, bis die Population mehr als eine Million Waschbären zählt? Für wie angemessen halten sie das Modell?

Problem/Ansatz:

Benötige Hilfe bei den Funktionen

Answer 1

Hallo

du kennst schon die Formel für das Wachstum N(t)=N(0)*e^kt,  du setzest N(0) ein und N(3y) =2*N(0) ein und bestimmst daraus k,

damit dann den Rest bestimmen.

Gruß lul

Comments

Aber da ist kein k mehr, wenn ich N(3)=2*N(0) setze?

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N(3)=N(0)*e^3k=2N(0)

durch N(0) teilen und du hast 2=e^k3

anderer Weg du sagst N(t)=2^t/3y

und formst das in eine e Funktion um

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Die Waschbären-Anzahl verdoppelt sich alle \(3\) Jahre. Bei \(t=0\) Jahren gibt es \(20\,000\) Waschbären.

a) Als Wachstumsfunktion können wir daher notieren:$$f(t)=20\,000\cdot 2^{t/3}\quad\text{für}\quad t\ge0$$Diese sollen wir mit Hilfe der \(e\)-Funktion ausdrücken. Dazu nutzen wir aus, dass Funktion \(e^x\) und ihre Umkehrfunktion \(\ln x\) ihre Wirkungen gegenseitig neutralisieren:$$f(t)=20\,000\cdot e^{\ln\left(2^{t/3}\right)}=20\,000\cdot e^{\frac{t}{3}\ln2}=20\,000\cdot e^{\frac{\ln2}{3}\cdot t}$$

b) Einfacher rechnen können wir mit der ersten Form:$$f(1)=20\,000\cdot2^{1/3}\approx25\,198$$$$f(4)=20\,000\cdot2^{4/3}\approx26\,667$$$$f(6)=20\,000\cdot2^{6/3}=20\,000\cdot 2^2=20\,000\cdot4=80\,000\text{ (ohne TR)}$$

c) Zur Bestimmung der Jahre, nach denen \(1\) Mio. Waschbären vorhanden sind, wählen wir auch wieder die erste Form mit der \(2\)er-Potenz:

$$\left.f(t)\stackrel!=1\,000\,000\quad\right|\text{Funktionsterm einsetzen}$$$$\left.20\,000\cdot 2^{t/3}=1\,000\,000\quad\right|:\,20\,000$$$$\left.2^{t/3}=50\quad\right|\log_2(\cdots)$$$$\left.\frac{t}{3}=\log_2(50)=\frac{\ln50}{\ln2}\approx5,643856\quad\right|\cdot3$$$$t\approx16,93$$Nach etwa \(17\) Jahren hätte sich nach dem Modell die Wachbären-Population auf \(1\) Mio. Tiere vergrößert. Das ist jedoch sehr unrealistisch. Unser Modell berücksichtigt nicht den zunehmenden Resourcen-Verbrauch einer wachsenden Population. Für weiter in die Zukunft reichende Aussagen müssten wir das Modell daher um eine Dämpfungskomponente erweitern, die z.B. ein nach oben begrenztes Nahrungsangebot berücksichtigt.