Ist die Teilmenge ein ideal?

Question

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe einige Probleme.

Aufgabe:

(a) Ist die folgende Teilmenge vom kommutativen Ring \( \mathbb{Z}[X] \)  ein Ideal?
\( I_{1}=\left\{\sum \limits_{i=0}^{d} a_{i} X^{i} \in \mathbb{Z}[X] \mid a_{i} \in 2 \mathbb{Z}\right. \) für alle geraden \( \left.i\right\} \)

Problem/Ansatz:

Die Axiome eines Ideals sind mir bekannt, aber irgendwie kann ich die nicht auf die Aufgabe anwenden.

Ich wäre für jede Hilfe dankbar.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Wenn du 2 Elemente von I addierst, dann addierst du ja die

Koeffizienten , und wenn die bei geraden i gerade sind, dann ist ihre Summe das auch.

Also ist die Summe von  2 Elementen von I wieder in I.

Wenn du allerdings ein Element von I mit einem anderen Polynom aus Z[x]

multiplizierst, ist das Ergebnis nicht unbedingt in I.

z.B. ist  2 + x + 4x^2  in I , aber das Produkt mit x

nicht , denn 2x + x^2 + 4x^3  hat bei i = 2 den Koeffizienten 1,

und der ist ungerade.