Knotenlinien von f(x,y) bestimmen

Question

Aufgabe:

Es sei die Funktion f(x,y) = 5x^2 − 4xy + 2y + y^2 gegeben. Bestimmen Sie die beiden Knotenlinien y_1(x) und y_2(x) an denen die Funktion f(x,y) = 0 ist.

Lösung:

y_1(x) = −1 + 2x + √(1 − 4x − x^2)

y_2(x) = −1 + 2x − √1 − 4x − x^2

Wie kommt man drauf? Ich versuch Knotenlinien zu verstehen, aber irgendwie klappt es nicht.. :(

Answer 1

Du löst einfach nach y auf:

$$ 5x^2-4xy+2y+y^2 = 0 \\ y^2+(-4x+2)y+(5x^2) = 0 \\ y_{1;2} = {-(-4x+2) \mp \sqrt{(-4x+2)^2-4(5x^2)} \over 2} \\ = {4x-2 \mp \sqrt{-4x^2-16x+4} \over 2} \\ = 2x-1 \mp \sqrt{-x^2-4x+1} $$

Die (umgangssprachlich so genannte) abc-Formel ist grundsätzlich immer zu bevorzugen.