Monotonie von Wurzelfunktionen

Question

Hallo Leute,

ich sitze gerade wieder Mal an einer Aufgabe und bräuchte etwas Unterstützung :D

Gegeben ist folgende Funktion:

$$f(x) =\sqrt{-x^2-3x-2}$$ mit -2<x<1/2 

Zwei Aufgabenvarianten:

1. Ist die Funktion monoton?

2. In welchen Bereichen ist die Funktion monoton steigend, in welchen monoton fallend?

Vielen Dank für die Hilfe :)

Answer 1

f ( x )  =  √ ( -x^2 - 3x - 2 )
D = -2 < x -1 | richtig
Dein Def-Bereich scheint nicht zu stimmen

Scheitelpunkt
f ´ ( x ) = 0 = ( -x^2 - 3x - 2 ) ´
( -2x + 3 ) / √ ( -x^2 - 3x - 2 ) = 0
Ist dann 0 wenn der Nenner 0 ist
-2x + 3 = 0
x = -1.5

Die Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel
für x < -15 : Steigung positiv
für x > -1.5 : Steigung fallend

unter Berücksichtigung des Def-Bereichs
-2 .. -1.5 steigend
-1.5 .. -1 : fallend

Comments

Danke für deine Antwort, die Angabe in welchem Bereich x liegen darf, steht in der Aufgabe. Den habe ich also gar nicht berechnet :) 

Zu deinem Lösungsweg:

Scheitelpunkt
f ´ ( x ) = 0 = ( -x2 - 3x - 2 ) ´
( -2x + 3 ) / √ ( -x2 - 3x - 2 ) = 0
Ist dann 0 wenn der Nenner 0 ist
-2x + 3 = 0
x = -1.5

Was hier steht verstehe ich nicht (z.B. warum ist jetzt auf einmal -2x+3 der Nenner usw.). Könntest du es vielleicht mit Latex formatieren? Das wäre wirklich sehr nett.

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Latex habe ich nicht.

von der Funktion habe ich die erste
Ableitung gebildet
f ´ ( x ) = √ ( -x^2 - 3x - 2 ) ´
f ´( x ) = ( -2x - 3 ) / [ 2 * √ ( -x^2 - 3x - 2 ) ]
Beim Scheitelpunkt ist die Steigung 0
( -2x - 3 ) / [ 2 * √ ( -x^2 - 3x - 2 ) ] = 0

Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler
0 ist : Beispiel 0 / 4 = 0. Also
-2x - 3 = 0
x = -1.5

Du kannst auch anders vorgehen um den Scheitelpunkt herauszufunden.

Berechne was sind die Nullstellen der
Funktion.
Der Scheittelpunkt liegt genau in der
Mitte. (weil Parabel )

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Untersuchung auf die Monotonie
1.Fall : steigend
f ´( x ) = ( -2x - 3 ) / [ 2 * √ ( -x^2 - 3x - 2 )] > 0
Im Nenner steht unter Berücksichtung
des Def-Bereichs etwas Positives.
Also muß im Zähler auch etwas Positives
stehen damit der Gesamtausdruck > 0 wird.
-2x - 3  > 0
-3  > 2x
x < - 1.5
von - 2.. -1.5

Ist dann 0 wenn der Nenner 0 ist
-2x - 3 = 0
x = -1.5
( -2x + 3 ) / √ ( -x2 - 3x - 2 ) = 0
Ist dann 0 wenn der Nenner 0 ist
-2x + 3 = 0
x = -1.5

3.Fall : fallend
f ´( x ) = ( -2x - 3 ) / [ 2 * √ ( -x^2 - 3x - 2 )] < 0
Im Nenner steht unter Berücksichtung
des Def-Bereichs etwas Positives.
Im Zähler muß etwas Negatives
stehen damit der Gesamtausdruck < 0 wird.
-2x - 3  < 0
-3  < 2x
x > - 1.5
von 1.5..- 1

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Super, vielen Dank dir :)

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Gern geschehen.

Answer 2

Gegenfrage: Liegt die Extremstelle von g(x)=-x²-2x-3  (das ist der Term unter der Wurzel)

im Intervall -2<x<1/2 oder außerhalb dieses Intervalls?

Comments

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, liegt die bei x = -1, sprich im Definitionsbereich. Leider weiß ich nicht wie mir das nun weiterhelfen soll :/