Umformen von einer gleichung

Question

Aufgabe:

Px=Pu+Pw=u-w zu \(Pu=0.5(Px+P \circ Px)=u\)

Problem/Ansatz

wie kommt man von der ersten gleichung zu der zweiten. Das P soll ein Phi sein

Comments

hallo

in der ersten Gleichung kommt P nicht vor m in der zweiten w nicht, also kann man nicht einfach umformen, sondern muss den Zusammenhang kennen,

lul

---

Sei U der Eigenraum zum Eigenwert 1 und W der Eigenraum zum Eigenwert -1. Dann gilt: \(V=U \oplus W\). Damit kann man Basen für U und W zu einer kompletten Basis aus Eigenvektoren zusammenstellen.

Zur Behauptung:

$$\forall x \in V: \quad x=u+w \text{  mit }u:=0.5(x+Px), w:=0.5(x-Px)$$

In der Tat ist \(u \in U\); denn \(Pu=0.5(Px+P \circ Px)=u\); und \(w \in W\), denn \(w=0.5(Px-P \circ Px)=-w\). Und natürlich ist der Durchschnitt von U und W der Null-Raum.

das ist der zusammenhang

---

Sei U der Eigenraum zum Eigenwert 1

Von welcher Abbildung oder Matrix ist U der Eigenraum.

Dann gilt: \(V=U \oplus W\)

Das gilt im Allgemeinen nicht. Zum Beispiel bei Wahl von \(V = \mathbb{R}^3\) mit der Matrix

        \(\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&-1\\ \end{pmatrix}\)

ist

        \(U=\left\langle\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right\rangle,W=\left\langle\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\rangle\),

also

\(U\oplus W=\left\langle\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\rangle \neq V\).

Irgendwie fehlen da noch Voraussetzungen, damit \(U\oplus W=V\) gilt.

---

Hier wäre das Original:

https://www.mathelounge.de/809562/zeige-dass-diagonalisierbar-ist-wenn-eine-lineare-abbildung#c810960