Eigenvektoren und Diagonalmatrix: Äquivalenz zeigen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Beweisen Sie, dass die folgenden zwei Aussagen über eine Matrix \( A \in \operatorname{Mat}(n \times n ; \mathbb{R}) \) äquivalent sind:
1. Die Matrix \( A \) hat \( n \) linear unabhängige Eigenvektoren \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in \mathbb{R}^{n} \) zu Eigenwerten \( \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{R} \).
2. Es gibt invertierbare Matrizen \( S, T \in \operatorname{Mat}(n \times n ; \mathbb{R}) \) sodass \( S A T \) eine Diagonalmatrix \( D \) ist und \( T S=1 \) (die Identitätsmatrix) ist.
Geben Sie durch ein Gegenbeispiel an, dass auf die Voraussetzung \( T S=1 \mathrm{im} \) Allgemeinen nicht verzichtet werden kann.

Verstehe nicht wie man Beweise führt, kann mir jemand helfen?

Wenn Eigenvektoren \( Av = \alpha v \) sind kann man das ja zu \( AS = DS \) zusammenfassen, wobei S alle Eigenvektoren und D alle Eigenwerte sind. Ist das der richtige Ansatz?

Answer 1

Hallo,

wenn \(TS=I\) ist, dann gilt:

$$SAT=D \iff AT=S^{-1}D \iff AT=TD$$

Wenn man nun in der rechten Gleichung jeweils die Spalte j betrachtet, dann steht

LINKS: Matrix A multipliziert mit Spalte j von T
RECHTS: Spalte j von T multipliziert mit dem Element \(D_{jj}\) von D

D.h. die Spalte j von T ist Eigenvektor von A zum Eigenwert \(D_{jj}\). Wenn man von a) ausgeht, muss man die Eigenvektoren von A, also die \(v_i\) zu Spalten von T machen und die Eigenwerte zu den Diagonalelementen von D.

Gegenbeispiel:

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$