Wie finde ich zu einer Tabelle die dazugehörige Funktionsgleichung?

Question

Aufgabe:

Finden sie die Funktionsgleichung zu der Tabelle 1,2,3 und 5.

1. Tabelle

x	1	2	4	5	8	10
y	10	5	2.5	2	1.25	1

Ich sehe dass, die Funktion antiproportional ist und erkenne irgendwie

\(\Rightarrow y = \frac{10}{x}\) 

2. Tabelle

x	1	2	5	6	7	8
y	9	13	25	29	33	37

Ich sehe dass, mit steigendem \(x\) auch die \(y\) grösser sind. Wenn \(x = 3\), dann  müsste \(y = 17\) und wenn \(x = 4\), dann müsste \(y = 21\). Ich erkenne dass immer \(+4\) gerechnet wird.

a) Wie komme ich auf die Funktionsgleichung ?  

3. Tabelle

x	2	3	5	7	10	20
y	3	4,5	7,5	10,5	15	30

Hier sehe ich einfach, dass zu jedem x die Hälfte dazuaddiert wird.

\(\Rightarrow y = x + \frac{x}{2}\)

4. Tabelle

x	4	5	1	6	10	20
y	0	0,5	-1,5	1	3	8

Falls \(x = 2\), dann hypothetisch \(y = -1,0\)

falls \(x = 3\), dann hypothetisch \(y = -0,5\)

falls \(x = 4\), dann hypothetisch \(y = 0\)

... also es geht in 0.5-er Schritten vor sich.

Begonnen wird aber bei \(x = 0.\) \(y = 0 + (-2)\) dann folgt, \(y = -2\).

Die Funktionsgleichung \(y= x + 0.5 \)

stimmt aber nicht.

b) Wie finde ich hier eine Funktionsgleichung ?

Answer 1

Ich erkenne dass immer \(+4\) gerechnet wird.

... wenn \(x\) um 1 erhöht wird.

Dann müsste bei \(x= 0\)  der Wert \(y = 5\) stehen.

Zu diesem Wert wird so oft \(4\) addiert, wie der Wert von \(x\) ist.

        \(y = 5 + x\cdot 4\)

4. Tabelle

Wie 2. Tabelle

Answer 2

Zu 1)

Bei Antiproportionalität herrscht Produktgleichheit.

x*y=10.  |:10

y=10/x

Zu 2)

Ich nehme zwei Wertepaare:

x1=5; y1=25

x2=6; y2=29

y=mx+b

m=(y2-y1)/(x2-x1)=4/1=4

y=4x+b

Einen Punkt einsetzen:

25=4*5+b

25=20+b → b=5

y=4x+5

Zu 3)

\(y = x + \frac{x}{2}=1x +0,5x \\ y=1,5x\)

Zu 4)

Du fängst richtig an:

also es geht in 0.5-er Schritten vor sich.

Das bedeutet, dass die Steigung m=0,5 ist.

y=0,5x+b

dann folgt, \(y = -2\)

Das bedeutet b=-2.

So geht es auch:

Einen Punkt, z.B. x=4; y=0 einsetzen:

0=0,5*4+b

0=2+b

b=-2

y=0,5x-2

Kontrolle mit z.B. x=10:

0,5*10-2=5-2=3 Stimmt.

:-)