Hilfe bei Extremalaufgaben?

Question

Zoodirektor Dr. Brinkmann plant ein neues Aquarium. Es soll doppelt so lang wie breit werden. Oben ist es offen. Das Glas für die Bodenplatte kostet 300 €/m², das Glas für die Seiten scheiben ist mit nur 250 €/m2 etwas preiswerter. Das Aquarium soll ein Fassungsvermögen von 200 m³ erhal ten. Welche Maße muss Dr. Brinkmann wählen, damit sein neues Aquarium möglichst billig wird? Wie hoch ist der Preis? Hallo Leute, ich bräuchte bei dieser Aufgabe dringend Hilfe. Ich weiß leider gar nicht wie ich hier vorangehen soll. Kann mir bitte einer Schritt für Schritt sagen was ich tun soll? Über Lösungswege würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

1. Formel aufstellen für das was möglichst klein oder groß sein soll.

sein neues Aquarium möglichst billig wird?

Das Aquarium soll ein Quader werden. Quader sind durch drei Seitenlängen \(a,b,c\) charakterisiert. Seitenlängen der Bodenplatte seien \(a\) und \(b\).

Oben ist es offen.Das Glas für die Bodenplatte kostet 300 €/m², das Glas für die Seiten scheiben ist mit nur 250 €/m2 etwas preiswerter.

Für die Kosten \(K\) des Aquariums gilt dann

(1)        \(K = 300ab+ 250(2(a+b)\cdot c)\)

Das ist die Hauptbedingung oder auch Extremalbedingung.

2. Nebenbedingungen aufstellen

Es soll doppelt so lang wie breit werden.

Dann ist

(2)        \(b = 2a\)

Das Aquarium soll ein Fassungsvermögen von 200 m³ erhal ten.

Dann ist

(3)        \(200 = abc\).

3. Nebenbedingungen verwenden um in der Hauptbedingung Variablen zu eliminieren.

Gleichung (2) in (3) einsetzen ergibt

(4)        \(200 = 2a^2c\)

Gleichung (4) nach \(c\) auflösen ergibt

(5)        \(c = \frac{100}{a^2}\)

Gleichungen (2) und (5) in die Hauptbedingung einsetzen ergibt

(6)        \(K = 300a\cdot 2a+ 250(2(a+2a)\cdot\frac{100}{a^2})\)

4. Zielfunktion aufstellen

Gleichung 6 ergibt

        \(K(a) = 300a\cdot 2a+ 250(2(a+2a)\cdot\frac{100}{a^2})\)

Dabei gibt \(a\) eine Seitenlänge an und \(K(a)\) die daraus resultierende Kosten des Aquariums.

5. Extrempunkte der Zielfunktion bestimmen.

Answer 2

Hallo hsp.12633,

das erste, was Du tun solltest ist, eine Gleichung für dieses Problem zu erstellen, damit Du dann per Ableitung den Extremwert (das Preisminimum) suchen kannst:

Wir gehen mal davon aus, dass das Aquarium eine rechteckige Grundform bekommen soll. Insgesamt ist das Gesamtvolumen V dann durch Länge*Breite*Höhe gegeben. In der Aufgabe lesen wir, dass die Länge doppelt so lang wie die Breite sein soll. Ich nenne die Breite b, die Länge 2*b und die Höhe h. Dann gilt:

2*b*b*h = V

Jetzt müssen wir irgendwie noch den Gesamtpreis des Aquariums mit Variablen ausdrücken. Die Bodenplatte hat einen Preis von p_B = 300 €/m². Die Fläche ergibt sich zu 2*b*b. Die 4 Seitenplatten haben die Maße 2*2*b*h und 2*b*h zu einem Preis von p_W = 250 €/m². Der Gesamtpreis p_G lautet damit:

p_G(b,h) = p_B*2*b² + p_W*(2*b*h + 2*2*b*h).

Diese Funktion hängt noch von zwei Variablen ab. Die sind aber über die Volumenvorgabe miteinander gekoppelt. Du hast jetzt 2 Möglichkeiten: Du kannst die Variable h oder b eliminieren und entsprechend nach der übrig gebliebenen auflösen. Ich habe mich entschieden, h zu eliminieren und nach b aufzulösen. Ich habe b*h = V/(2*b) eingesetzt und umgestellt und lande bei:

p_G(b) = 2b²*p_B + p_W*3*V/b

Diese Formel leite ich nach b ab und setze sie 0, damit ein Extremwert in Abhängigkeit von b bestimmt werden kann. Das wird dann nach b umgestellt:

b³ = 3/4*V*p_W/p_B

b = 5 m.

Ich habe das Ergebnis jetzt nicht überprüft, aber es ist derart "rund", dass ich annehme es stimmt. Die Höhe kannst Du über V bestimmen und der Preis ergibt sich dann mit der Gesamtpreisformel von oben. Du müsstest noch mit der zweiten Ableitung prüfen, ob es sich wirklich um ein PreisMINIMUM handelt.

Liebe Grüße