Hallo,
Es kommt vielleicht auch gar nicht darauf an, dass diese eine Aufgabe korrekt gelöst wird. Du willst doch sicher wissen, wie das mit dem Gaußschen Algorithmus funktioniert. Zunächst muss geklärt sein, was die rechte Seite des linearen Gleichungssystems (LGS) ist. Ich postuliere mal, es ist $$\begin{pmatrix}15\\ -8\end{pmatrix}$$Dann hier noch mal die 'Tabelle' mit der 'rechten Seite', die jetzt auf der linken Seite steht, was aber keine Rolle spielt:$$\begin{array}{c|cc}15& -3& 5\\ -8& -1& 1\end{array}$$Das Ziel ist es nun, aus der Matrix (die hier rechts steht), eine Einheitsmatrix zu machen. Dazu darf man jede Zeile mit einem beliebigen Faktor \(\ne 0\) multiplizieren und Zeilen addieren und subtrahieren.
Links oben steht eine \(-3\) dort braucht man eine \(1\). Daher tausche ich einfach die beiden Zeilen. Das ist wie bei einem Gleichungssystem. Durch Vertauschen von Gleichungen ändert man nichts an dem System selbst.$$\begin{array}{c|cc}-8& -1& 1\\ 15& -3& 5\end{array}$$So und nun die erste Zeile mit \(-1\) mal nehmen, damit oben links eine \(1\) steht$$\begin{array}{c|cc}8& 1& -1\\ 15& -3& 5\end{array}$$Im nächsten Schritt sollen jetzt die Elemente unterhalb dieser eben gewonnenen \(1\) zu \(0\) werden. Dazu zieht man das \(-3\)-fache der ersten Zeile von der zweiten ab, bzw. addiert das 3-fache:$$\begin{array}{c|cc}8& 1& -1\\ 39& 0& 2\end{array}$$Jetzt soll die nächste Zahl auf der Hauptdiagonalen zu \(1\) werden (wir wollen ja eine Einheitsmatrix). Dazu dividieren wir die zweite Zeile durch \(2\)$$\begin{array}{c|cc}8& 1& -1\\ 19,5& 0& 1\end{array}$$Wenn man mit den \(1\)'en auf der Hauptdiagonale unten rechts angekommen ist, zieht man von links nach rechts ein Vielfaches der unteren Zeile von der oberen ab. So dass außerhalb der Hauptdiagonalen die Elemente zu \(0\) werden. Hier ist das die \(-1\), die übrig geblieben ist, also das \(-1\)-fache der zweiten Zeile von der ersten abziehen, bzw. die untere zur addieren, was das gleiche ist.$$\begin{array}{c|cc}27,5& 1& 0\\ 19,5& 0& 1\end{array}$$Die Einheitsmatrix ist fertig und in dem verbleibenden Vektor steht nun das Ergebnis.
Und das sollte hier \(X=27,5\) und \(b_2=19,5\) sein. Die Unbekannten des LGS stehen oberhalb der Spalten der Matrix.
