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Aufgabe:

Zeichne Graph Gf der Fkt f(x)= Wurzel 4-x²  ; Df = [-2; 2] sowie die Tangente tp an Graphpunkt P (1| f(1))


b) Ermitteln Sie die Steigung der Tangente tp auf 2 verschiedene Arten


Problem/Ansatz:

gezeichnet habe ich bereits. Und als 1. Art habe ich die 1. Ableitung, aber eine andere Art bekomme ich nicht hin. Wenn jemand einen Rechenweg hätte wäre es super, kann es so am Besten nachvollziehen. Der will es auch leider immer ausführlich haben :/ 


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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Gegeben ist uns die Funktion \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\) mit \(\mathbb D=[-2|2]\). Ihre Tangente im Punkt \((1|f(1))\) hat die Form:

$$t(x)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)$$Wegen \(f(1)=\sqrt{3}\) und$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{4-x^2}}\cdot(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\implies f'(1)=-\frac{1}{\sqrt3}$$haben wir also:$$t(x)=\sqrt3-\frac{1}{\sqrt3}\cdot(x-1)=-\frac{x}{\sqrt3}+\sqrt3+\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{x}{\sqrt3}+\frac{(\sqrt3)^2+1}{\sqrt3}=\frac{-x+4}{\sqrt3}$$

Der Graph der Funktion und die Tangente sehen so aus:

~plot~ sqrt(4-x^2) ; ; {1|sqrt(3)} ; (-x+4)/sqrt(3) ; [[-3|4,5|-1|4]] ~plot~

Neben der ersten Ableitung kannst du die Steigung auch mit Hilfe des Radius des Kreises bestimmen. Der Radius von \((0|0)\) zu \((1|f(1))\) hat die Steigung \(m=\frac{f(1)}{1}\). Er steht senkrecht auf der Tangenten, sodass für deren Steigung \(m_p\) gilt:$$m_p=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{f(1)}=-\frac{1}{\sqrt3}$$

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