Dass es eine gibt, kannst du mit etwas Geschick feststellen, indem du mal paar Testeinsetzungen in folgende Funktion machst:
\(f(x):=(x-260)\cdot \Big(\frac{x}{210000}+0.002\cdot \big(\frac{x}{500}\big)^8-0.00124\Big)-4.1746\).
Also zb \(f(611)=-0,0979...\) und \(f(613)=0,0216...\). Und da Polynome keine ,,Sprünge'' haben (stetige Abbildungen sind), muss es also im Intervall \([611,613]\) mindestens ein \(t\in [611,613]\) geben, sodass \(f(t)=0\) gilt.
Jetzt kann man sich zb mit dem Newton-Verfahren diesem \(t\) annähern. Du brauchst einen Startwert zb \(t_0=611\) und dann musst du nur noch oft genug folgende Formel anwenden: $$ t_{n+1}=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)} $$
\(f\):
\(f(x)=(x-260)\cdot \Big(\frac{1}{210000}\cdot x+\frac{1}{500}\cdot (\frac{x}{500})^8-\frac{31}{25000}\Big)-\frac{20873}{5000}\)
1. Ableitung von \(f\):
\(f'(x)=-\frac{1301}{525000}+\frac{1}{105000}\cdot x + \frac{(x^7 (-2080 + 9 x))}{1953125000000000000000000}\) (...kann man noch etwas weiter ausmultiplizieren, es bleibt aber unschön).
Und jetzt nimmst du deinen Taschenrechner zur Hand, tippst den Startwert \(611\) ein und speicherst ihn mit deiner entsprechenden Taste (meist Ans bezeichnet). Dann musst du nur noch das ganze in die obige Formel einsetzen (rechte Seite):
\(\operatorname{Ans}-\frac{f(\operatorname{Ans})}{f'(\operatorname{Ans})}\)
und drückst auf die =-Taste. Dann sollte das Ergebnis \(t_1\) in etwa so aussehen:
\(t_0=611\)
\(t_1\approx 612,6603413399688\)
Dieser Wert wird nun in Ans gespeichert. Jetzt wieder 0-Taste drücken:
\(t_2 \approx 612,6420858505078\)
und das kannst du nun nach Belieben oft wiederholen, ohne einen Schreibkrampf beim Rechnen zu kriegen. Und du siehst, dass bereits nach 2 Durchgängen, dir die ersten drei Nachkommastellen bekannt vorkommen dürften.
