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Aufgabe:

Lösungsformel für quadratische Gleichungen


Problem/Ansatz:

a)  Bestimme    α, β, γ ∈ R so, dass die Gleichung

ax² + bx + c = α (x + β)² + γ für alle x ∈ R   gilt.


b)  Berechne alle mögl. Lösungen x ∈ R der Gleichung

ax² + bx + c = 0.

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ax² + bx + c

= a*( x^2 + (b/a)*x )   + c

= a*( x^2 + (b/a)*x  + b^2/(4a^2) )  -  b^2/(4a^2) )   )  + c

= a*( x + b/(2a))  ^2   - b^2/(4a^2)   )  + c

= a*( x + b/(2a))  ^2  - b^2/(4a)  + c

==>   α=a    ß=b/(2a)      γ  = c - b^2/(4a)

b) dann mit   a*( x + b/(2a))  ^2  - b^2/(4a)  + c = 0

 a*( x + b/(2a))  ^2     =   b^2/(4a)    - c  falls a≠0 also

   ( x + b/(2a))  ^2    =  b^2/(4a^2)    - c/a  falls   b^2/(4a^2)    - c/a ≥0

        x + b/(2a)    = ±√ (  b^2/(4a^2)    - c/a)

            x =  -b/(2a)   ±√ (  b^2/(4a^2)    - c/a)

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Hast du dich bei a) bewusst für die umständliche Variante entschieden, um den Fragesteller zu beeindrucken?

Viel naheliegender ist doch, die rechte Seite auszumultiplizieren und dann einen Koeffizientenvergleich zu machen.

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Unbenannt.PNG

Text erkannt:

\( a \cdot x^{2}+b x+c=0 \mid: a \)
\( x^{2}+\frac{b}{a} \cdot x=-\frac{c}{a} \)
\( \left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4 a^{2}}=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}} \)
\( x_{1}=-\frac{b}{2 a}+\frac{1}{2 a} \cdot \sqrt{b^{2}-4 a c} \)
\( x_{2}=-\frac{b}{2 a}-\frac{1}{2 a} \cdot \sqrt{b^{2}-4 a c} \)

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