Mathematik - Berechnungen & Begründungen von besonderen Punkten

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte folgende drei Teilaufgaben erklären beziehungsweise meine Ergebnisse stückweit auch kontrollieren?

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -x * e^{-x^2}.

c) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von f punktsymmetrisch ist.

→ dort habe ich die Regel f(-x) = -f(x) angewandt & bin auf jeweils x * e^{x^2} gekommen; und dadurch ist die Funktion punktsymmetrisch.

d) Begründen Sie ohne eine weitere Rechnung (einzig allein die Rechnung der Extremstelle, die nach meinen Ergebnissen bei +/- \( \sqrt{x} \)0,5 liegt), warum der Graph drei Wendepunkte haben muss.

→ habe ich keine Lösung; ich wüsste zwar, wie ich es nach notwendiger und hinreichender Bedingung errechnen kann, jedoch nicht, wie ich es ohne Berechnung berechnen kann.

e) Zeigen Sie, dass der Inhalt der Fläche, den der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;b] für b > 0 einschließt, stets kleiner als 0,5 Flächeneinheiten ist.

→ ? - mir fehlt hier der komplette Ansatz, berechne ich nicht erst die Schnittpunkte zwischen der x-Achse und der Funktion f(x)? (d.h. x = 0?)

Vielen Dank!

Answer 1

Solltet ihr vorher das Verhalten im Unendlichen untersuchen?

Zunächst mal muss aufgrund der Punktsymmetrie ein Wendepunkt im Ursprung sein. Damit sich der Graph rechts vom Tiefpunkt an die x-Achse asymptotisch anschmiegt muss die Funktion von einer Linkskurve im Tiefpunkt in eine Rechtskurve übergehen. Ansonsten würde die Steigung nach dem Tiefpunkt ja langfristig nie wieder auf Null abnehmen.

Comments

Davon steht in der Aufgabe nichts; nur die Aufgabenstellung, die ich oben beschrieben habe.

Aber inwiefern deutet das jetzt auf drei Wendepunkte? Und könnten Sie mir bitte auch erklären, was ich ich Teilaufgabe e) machen muss?

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e)

∫ (0 bis b) (- x·e^(- x^2)) = 1/2·e^(- b^2) - 1/2

1/2·e^(- b^2) ist streng monoton fallend von 1/2 bis zum Grenzwert 0. Der Grenzwert wird nie erreicht.

Damit ist der orientierte Flächeninhalt streng monoton fallend von 0 bis zum Grenzwert -1/2 der auch hier nicht erreicht wird.

Answer 2

F(x) = 1/2*f(x) = 1/2*e^(-x^2)

[1/2*e^(-x^2)]von 0 bis b

= 1/2*(e^(-b^2)-1) = 1/2*(1/e^(b^2)-1)

1/ê^(b^2) geht gegen 0 für b gg. +oo

-> Flächeninhalt =1/2*|0-1| = 1/2 = 0,5 für b gg. +oo

0,5 ist der Grenzwert der Fläche, der nie erreicht wird.