Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen mit der x-Achse.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen mit der x-Achse.

Geben Sie die Vielfachheit der Nullstellen an.

a) f(x) = 2 * (x-1) * (x-2) * (x-3)^2

b) f(x) = -0,5 * (x-3)^4 * (x + 1) * x^3 * (x-5)

c) f(x) = -0,25 * (x+5)^5 * (x+1) * (x-5) * (x+5)

d) f(x) =10 * x * (x-4) * (x+0,1) * (x-0,1)^2

Problem/Ansatz:

Kann mir da bitte jemand helfen ?

Answer 1

a) f(x) = 2 * (x-1) * (x-2) * (x-3)²

Um die Nullstellen einer Funktion (Schnittpunkte mit der x-Achse) zu bestimmen, setzt du die Funktion = 0.

Wende den "Satz vom Nullprodukt" an: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.

Du hast eine Gleichung mit vier Faktoren.

2 ist immer ungleich null, die interessiert in diesem Fall (wie alle Konstanten einer solchen Gleichung) nicht.

x - 1 = 0 ⇒ x = 1 = erste Nullstelle

x - 2 = 0 ⇒ x = 2 = zweite Nullstelle

x - 3 = 0 ⇒ x = 3 = dritte doppelte Nullstelle - Der Graph der Funktion berührt die x-Achse, aber schneidet sie nicht.

Die anderen Aufgaben kannst du genau so lösen.

Answer 2

Hallo

hier liegen doch faktoriesiete Funktionen vor , man kann die Nullstellen "einfach " ablesen

der Fakor muss null werden

a) f(x) = 2 * (x-1) * (x-2) * (x-3)²

    einfachen Nullstelle x= 1  , x=2 doppelte , Nullstelle x=3

b) f(x) = -0,5 * (x-3)⁴ * (x + 1) * x³ * (x-5)

          vierfache Nullstelle x= 3 , einfache x=-1 , dreifache x= 0 , einfache x= 5

c) f(x) = -0,25 * (x+5)⁵ * (x+1) * (x-5) * (x+5)

            sechsache Nullstelle x= -5, einfache Nullstellen x= -1 und x=5

     
d) f(x) =10 * x * (x-4) * (x+0,1) * (x-0,1)²

            x= 0, x= 4, x0=-0,1  und doppelte x= 0,1

Answer 3

Aloha :)

Eine Funktion schneidet oder berührt die \(x\)-Achse, wenn \(y(x)=0\) wird. Die \(x\)-Achse wird geschnitten, wenn die Vielfachheit der Nullstelle ungerade ist. Die \(x\)-Achse wird berührt, wenn die Vielfachheit der Nullstelle gerade ist.

$$a)\quad f(x)=2\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)^2$$Wir haben einfache Nullstellen, also Schnittpunkte, bei \(x=1\) und \(x=2\). Wir haben eine doppelte Nullstelle bei \(x=3\), also einen Berührpunkt.

$$b)\quad f(x)=-\frac{1}{2}\cdot(x-3)^4\cdot(x+1)\cdot x^3\cdot(x-5)$$Schnittpunkte bei \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=5\).

Berührpunkt bei \(x=3\).

$$c)\quad f(x)=-\frac{1}{4}\cdot(x+5)^5\cdot(x+1)\cdot(x-5)\cdot(x+5)$$Schnittpunkte bei \(x=-1\) und \(x=5\).

Berührpunkt bei \(x=-5\), denn \((x+5)^5\cdot(x+5)=(x+5)^6\).

$$d)\quad f(x)=10\cdot x\cdot(x-4)\cdot(x+0,1)\cdot(x-0,1)^2$$Schnittpunkte bei \(x=0\), \(x=4\) und \(x=-0,1\).

Berührpunkt bei \(x=0,1\).