Potenzgesetze, Lösungsmenge

Question

Aufgabe 1: Vereinfache

a) \( x^{-1} \sqrt{x} \)

b) \( \left(6 x^{2} y-6 x^{3}\right): x^{3} \)

c) \( r^{0,6}+r^{0,4} \)

Aufgabe 2: Bestimme die Lösungsmenge

a) \( x^{6}=-144 \)

b) \( 3 x^{3}+18=0 \)

c) \( 3 x^{4}-48=0 \)

Aufgabe 3:

Ein Uranatom hat eine Masse von \( 4 \cdot 10^{-23} \) g und einen Durchmesser von \( 10^{-10} \) m.

a) Wie viel Atome enthält ein Gramm Uran?

b) Wie schwer wäre ein Würfel von 1cm Kantenlänge, der dicht mit Uranatomen gefüllt ist?

Answer 1

x^{-1}·√x = x^{-1}·x^{1/2} = x^{-1/2} = 1/√x

(6·x^2·y - 6·x^3)/x^3 = 6·y/x - 6

r^0.6 + r^0.4 = r^{3/5} + r^{2/5} = r^{2/5}·(r^{1/5} + 1)


x^6 = -144
Keine Lösung in R

3·x^3 + 18 = 0
x = - 6^{1/3}

3·x^4 - 48 = 0
x = -2 ∨ x = 2


1/(4·10^{-23}) = 2.5·10^22

(0.01/10^{-10})^3·4·10^{-23} = 40 g
Hier weiß ich nicht ob das die dichteste Kugelpackung gibt. Sicher geht es noch etwas dichter, wenn man die Atome nicht direkt übereinander stapelt.

Comments

Die dichteste Kugelpackung nimmt etwa 74 % des zur Verfügung stehenden Raumes ein. In einen Würfel von 1 cm Kantenlänge, also 1 cm³ Rauminhalt, würden daher etwa 0,74 cm³ Atome passen, sofern diese als kugelförmig und nicht komprimierbar aufgefasst würden.

Man käme dann auf eine Masse des Würfels von etwa

$$\frac { { 0,74 } }{ \frac { 4 }{ 3 } \pi { \left( 100\frac { d }{ 2 }  \right)  }^{ 3 } } *4*{ 10 }^{ -23 }\approx 56,5 g$$

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Ja. Wobei man dann wissen muss das 74% die dichteste Kugelpackung ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung