Beweis des Zusammenhangs von Endomorphismus und Identität in einem K-Vektorraum

Question

Liebe Community!

Bei folgender Beweisaufgabe stehe ich an:

Sei \( V \) ein \( K \) -Vektorraum und \( \phi \, : \, V \rightarrow V \) ein Endomorphismus, für den jeder Vektor \( 0 \neq v \in V \) ein Eigenvektor ist. Zeigen Sie, dass dann \(\phi=\lambda \cdot \mathrm{Id}_{V}\) für ein \( \lambda \in K \) gelten muss.

Ich hätte mir einen rein argumentativen Beweis überlegt, den ich aber so nicht abgeben möchte und einen Beweis in Aussagenlogik, der hauptsächlich auf der Dimension von \( V \) und der Dimension von Kern und Bild von \( M_{\underline{v}} (φ)  \, - \, λ I  \) aufbaut. Kann das so funktionieren?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo, du könnstest auch so vorgehen:

Betrachte zwei beliebige (Eigen) - Vektoren \(v,w\in V\) von \(\phi\) mit zugehörigen Eigenwerten \(\lambda, \mu\in \mathbb{K}\). Dann gilt zunächst jeweils \(\phi(v)=\lambda\cdot v\) und \(\phi(w)=\mu\cdot w\). Dann gilt aber auch nach Voraussetzung \(\phi(v+w)=\alpha\cdot (v+w)\). Weiter hast du dann

\(\lambda\cdot v+\mu\cdot w=\phi(v)+\phi(w)=\phi(v+w)=\alpha\cdot (v+w)=\alpha\cdot v+\alpha\cdot w\).

Das ergibt umgestellt

\((\lambda-\alpha)\cdot v=(\alpha-\mu)\cdot w\).

Also sind \(v\) und \(w\) linear abhängig. Jetzt kannst du den Fakt nutzen, dass Eigenvektoren mit verschiedenen Eigenwerten linear unabhägig sind. Falls du es nicht kennst oder hattest, kannst du es beweisen (geht per Widerspruch in einer Zeile...).

Da hier lineare Abhängigkeit vorliegt, müssen die Eigenwerte von \(v\) und \(w\) gleich sein. Da \(v\) und \(w\) beliebige Eigenvektoren waren folgt die Behauptung.

Edit:

auf der Dimension von \( V \) und der Dimension von Kern und Bild von \( M_{\underline{v}} (φ)  \, - \, λ I \) aufbaut. Kann das so funktionieren?

Du hast hier eben das Problem, dass du die Dimension von \(V\) nicht kontrollieren kannst; mehrnoch sie ist beliebig. Also kann Unendlichkeit nicht ausgeschlossen werden und Martzien funktionieren zunächst nur für endlichdimensionale Vektorräume.

Comments

Vielen herzlichen Dank für deine Antwort! Den fehlenden Beweis der linearen Unabhängigkeit habe ich hinbekommen und ich werde den Beweis vorerst nur für endliche Matrizen ausführen. Die sonstigen Aufgaben des Übungsblattes waren Großteils zu Darstellungsmatrizen und diese sind ja per Definition endlich, also gehe ich davon aus, dass der Beweis zumindest bis wir ihn in der Übung genauer durchbesprechen, für einen endlichen K-Vektorraum ausreicht.

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Gerne! Aber grundsätzlich gilt. Solange nur \(V\) gegeben ist, ist eigentlich davon auszughen, dass \(\dim(V)=\infty\) erlaubt ist, es sei man sagt explizit ,,Sei \(V\) ein endlichdimensionaler \(\mathbb{K}\)-Vektorraum...".