Es seien V ein Vektorraum über einem Körper K und Φ ein Endomorphismus von V.

Question

Aufgabe:

Es seien V ein Vektorraum über einem Körper K und Φ ein Endomorphismus von V. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

Problem/Ansatz:

a）Gilt Φ² = Φ, so hat Φ keine Eigenwerte außer 0 und 1.

b) Hat Φ2 den Eigenwert λ2, so hat Φ den Eigenwert λ.

c) Ist Φ bijektiv und λ Eigenwert von Φ, so ist λ^-1 Eigenwert von Φ^-1.

Answer 1

Zu a):

\(\Phi\) ist Nullstelle des Polynoms \(X^2-X\).

Daher ist das Minimalpolynom von \(\Phi\) ein Teiler von

\(X^2-X=X(X-1)\), also gleich \(X\), gleich \(X-1\) oder gleich \(X(X-1)\).

Die Nullstellen des Minimalpolynoms sind die Eigenwerte,

also hier \(0\) und \(1\).

Zu b):

Für \(\lambda=-1\) gilt: \(\lambda^2=1\) ist Eigenwert von \(id^2\),

aber \(\lambda=-1\) ist kein Eigenwert von \(id\).

Zu c):

Sei \(v\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda\).

Dann ist \(\lambda\neq 0\), da \(\Phi\) ein Isomorphismus ist.

Nun ist \(\Phi(v)=\lambda v\Rightarrow v=\Phi^{-1}(\lambda v)\Rightarrow\)

\(v=\lambda \Phi^{-1}(v)\Rightarrow \lambda^{-1} v=\Phi^{-1}(v)\)

Comments

Können Sie bitte nochmal erklären, warum Φ die Nullstelle des Polynoms X²-X ist?

und danke für Ihre Arbeit^-^

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Es ist doch offensichtlich \(\Phi^2-\Phi=0\), oder ?